Lec 01

1. 集合论

1.1 集合运算

集合的直积（笛卡尔积）：

$A \times B = {(a, b) ∣ a \in A, b \in B}$

多个集合的直积：

$A_{1} \times \dots \times A_{n} = {(a_{1}, \dots, a_{n}) ∣ a_{i} \in A_{i} (1 \leq i \leq n)}$

一般的直积（指标集 $I$ ）：

$\prod_{i \in I} A_{i} = {(a_{i})_{i \in I} ∣ \forall i \in I, a_{i} \in A_{i}}$

集合的并、交、差与补：

$A \cup B = {x ∣ x \in A 或 x \in B}, A \cap B = {x ∣ x \in A 且 x \in B}$

$A ∖ B = {x ∣ x \in A, x \in / B}, A^{c} = U ∖ A$

德摩根律（相对全集 $U$ ）：

$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}, (A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$

幂集：

$P (A) = {X ∣ X \subseteq A}, ∣ P (A) ∣ = 2^{∣ A ∣}$

1.2 映射

映射与像、原像：

$f : A \to B, f (A) = {f (a) ∣ a \in A}$

$f^{- 1} (Y) = {x \in A ∣ f (x) \in Y} (Y \subseteq B)$

映射的合成满足结合律：设 $f : A \to B$ ， $g : B \to C$ ， $h : C \to D$ ，则

$(g \circ f) (a) = g (f (a)), h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

恒等映射：

$id_{A} : A \to A, id_{A} (a) = a, f \circ id_{A} = f, id_{B} \circ f = f$

单射、满射、双射：

$f$ 为单射 $⟺$ $\forall a_{1}, a_{2} \in A, f (a_{1}) = f (a_{2}) \Rightarrow a_{1} = a_{2}$
$f$ 为满射 $⟺$ $\forall b \in B, \exists a \in A, f (a) = b$
$f$ 为双射 $⟺$ $f$ 既单又满

引理 1（合成结合律）： 任取 $a \in A$ ，有 $(h \circ (g \circ f)) (a) = h (g (f (a))) = ((h \circ g) \circ f) (a)$

引理 2（可逆判别）： $f : A \to B$ 为一一对应的充要条件是存在 $g : B \to A$ ，使得 $f \circ g = id_{B} 且 g \circ f = id_{A}$

1.3 关系与等价关系

二元关系： $R \subseteq A \times A$ 。
等价关系：满足
- 自反性： $a \sim a$
- 对称性： $a \sim b \Rightarrow b \sim a$
- 传递性： $a \sim b, b \sim c \Rightarrow a \sim c$
等价类与商集：
- 等价类： $[a] = {x \in A ∣ x \sim a}$
- 商集： $A / \sim = {[a] ∣ a \in A}$ 构成 $A$ 的一个划分

2. 群论

2.1 群的定义

一个非空集合 $G$ 连同二元运算 $\cdot$ 称为群，若满足：

结合律： $\forall a, b, c \in G, (ab) c = a (b c)$
幺元： $\exists e \in G, \forall a \in G, e a = a e = a$
逆元： $\forall a \in G, \exists a^{- 1} \in G, a a^{- 1} = a^{- 1} a = e$

若还满足交换律 $ab = ba$ ，则称 $G$ 为 Abel 群（交换群）。

2.2 例子与基本性质

模 $n$ 剩余类群：

$Z_{n}^{*} = {\overset{a}{ˉ} \in Z_{n} ∣ g cd (a, n) = 1}$

其阶为欧拉函数 $φ (n)$ 。

基本性质：

幺元唯一：若 $e, e^{'}$ 均为幺元，则 $e = e e^{'} = e^{'}$ 。
逆元唯一：若 $b, c$ 均为 $a$ 的逆元，则 $b = b e = b (a c) = (ba) c = ec = c$ 。

Lec 02

3. 群的阶与幂

设 $(G, \cdot)$ 为群。

若 $∣ G ∣ < \infty$ ，则称 $G$ 为有限群
若 $∣ G ∣ = \infty$ ，则称 $G$ 为无限群

记 $G$ 的阶为 $o (G)$ 。

记号：

对任意 $α \in G$ ：

$α^{0} = def 1 (或 e)$

对于 $n > 0$ ：

$α^{n} = def n 个 αα \dots α$

对于 $n < 0$ ：

$α^{n} = def (α^{- n})^{- 1} = (α^{- 1})^{- n}$

特别地， $(α^{- 1})^{n} = α^{- n}$ 。

对任意 $m, n \in Z$ ， $α \in G$ ，有

$α^{n} \cdot α^{m} = α^{m + n}$

证明： 分情况讨论。

(1) 当 $m, n > 0$ 时，显然

$α^{n} α^{m} = n 个 α \dots α m 个 α \dots α = α^{n + m}$

(2) 当 $n > 0$ ， $m < 0$ 时，设 $∣ m ∣ = - m$ 。

若 $n \geq ∣ m ∣$ ，则

$α^{n} α^{m} = α^{n} (α^{- 1})^{∣ m ∣} = α^{n - ∣ m ∣} = α^{n + m}$

若 $n < ∣ m ∣$ ，则

$α^{n} α^{m} = α^{n} (α^{- 1})^{- m} = (α^{- 1})^{- m - n} = α^{m + n}$

其余情形可类似讨论。 $■$

4. 元素的阶

定义： 设 $α \in G$ 。

若存在 $n > 0$ 使得 $α^{n} = 1$ ，则满足该性质的最小正整数 $n$ 称为 $α$ 的阶，记作 $o (α)$ 。

若不存在 $n > 0$ 使得 $α^{n} = 1$ ，则称 $α$ 无有限阶（或阶为无穷）。

若 $∣ G ∣ < \infty$ ，则对任意 $α \in G$ ，有

$α^{∣ G ∣} = 1$

5. 子群

定义： 设 $(G, \cdot)$ 为群， $H \subseteq G$ 。若 $(H, \cdot)$ 也是群，则称 $H$ 是 $G$ 的子群，记作 $H < G$ （或 $H \leq G$ ）。

注释与例子：

① $G$ 的幺元 $e$ 与 $H$ 的幺元 $e^{'}$ 必有 $e = e^{'}$ 。

证明：由于 $e$ 是 $G$ 的幺元， $e^{'} \in H \subseteq G$ ，故 $e \cdot e^{'} = e^{'}$ 。又由于 $e^{'}$ 是 $H$ 的幺元， $e \in H$ ，故 $e \cdot e^{'} = e$ 。从而 $e = e^{'}$ 。逆元也一致（在 $G$ 与 $H$ 中取逆一致）。

② $(Z, +) < (Q, +)$

③ $G L_{n} (R)$ ：实数域上可逆的 $n$ 阶方阵所成的群； $S L_{n} (R)$ ：行列式等于 $1$ 的 $n$ 阶方阵所成的群，且 $S L_{n} (R) < G L_{n} (R)$ 。

④ $Z_{4} = {\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{1}, \overset{ˉ}{2}, \overset{ˉ}{3}}$ ，其中 ${\overset{ˉ}{0}, \overset{ˉ}{2}}$ 构成 $Z_{4}$ 的子群。

6. 陪集与拉格朗日定理

定义陪集与集合乘法：

① 对 $H < G$ ， $α \in G$ ，定义

$α H = {α h ∣ h \in H}$

称为 $α$ 关于 $H$ 的左陪集； $H α$ 称为右陪集。

② 对任意 $A, B \subseteq G$ ，定义

$A B = def {ab ∣ a \in A, b \in B}$

命题： 设 $H < G$ ， $α, β \in G$ 。在 $G$ 上定义关系 $α \sim β ⟺ α^{- 1} β \in H$ ，则 $\sim$ 是等价关系，且 $α$ 所在的等价类恰为左陪集 $α H$ 。

证明： 任取 $β \in α H$ ，则存在 $h \in H$ 使得 $β = α h$ ，于是 $α^{- 1} β = h \in H$ 。反过来，若 $α^{- 1} β \in H$ ，则 $β = α (α^{- 1} β) \in α H$ 。故左陪集恰好刻画了 $α$ 的等价类。 $■$

由此， $G$ 可分解为互不相交的左陪集之并：

$G = α_{1} H \cup α_{2} H \cup \dots \cup α_{n} H$

称 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}$ 为完全代表系，其中 $H$ 本身是单位元所在的陪集。

命题： 映射 $f : H \to α H$ ， $h \mapsto α h$ 是双射，故 $∣ α H ∣ = ∣ H ∣$ 。

当 $∣ G ∣ < \infty$ 时，

$∣ G ∣ = \sum_{i = 1}^{n} ∣ α_{i} H ∣ = n ∣ H ∣$

故 $∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣$ 。

定理（拉格朗日定理）： 若 $∣ G ∣ < \infty$ ， $H < G$ ，则 $∣ H ∣ ∣ ∣ G ∣$ 称 $∣ G ∣/∣ H ∣$ 为 $H$ 在 $G$ 中的指数，记作 $(G : H)$ 。

例：若 $∣ G ∣ = p$ 为素数，则 $G$ 只有平凡子群 ${1}$ 和 $G$ 自身。

设 $α \in G$ ， $∣ G ∣ < \infty$ 。考虑序列 $α, α^{2}, α^{3}, \dots$ ，由于 $G$ 有限，必有 $α^{i} = α^{j}$ （ $i < j$ ），从而 $α^{j - i} = 1$ 。故 $α$ 生成的循环子群为

$⟨ α ⟩ = def {1, α, α^{2}, \dots, α^{n - 1}}, n = o (α)$

由拉格朗日定理， $o (α) = ∣ ⟨ α ⟩ ∣ ∣ ∣ G ∣$ ，从而

$α^{∣ G ∣} = α^{n \cdot \frac{∣ G ∣}{n}} = (α^{n})^{∣ G ∣/ n} = 1$

7. 欧拉定理与费马小定理

定理（欧拉定理）： 设 $a \in Z$ ， $n > 0$ ，且 $(a, n) = 1$ ，则 $a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)$

证明： 在乘法群 $Z_{n}^{*}$ 中考虑 $\overset{a}{ˉ}$ 。由于 $(a, n) = 1$ ，故 $\overset{a}{ˉ} \in Z_{n}^{*}$ ，且 $∣ Z_{n}^{*} ∣ = φ (n)$ 。由拉格朗日定理， $\overset{a}{ˉ}^{φ (n)} = \overset{ˉ}{1}$ ，即 $a^{φ (n)} \equiv 1 (mod n)$ 。 $■$

推论（费马小定理）： 若 $a \in Z$ ， $p$ 为素数，且 $(a, p) = 1$ ，则 $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

证明： 当 $p$ 为素数时， $φ (p) = p - 1$ ，由欧拉定理立得。 $■$

8. 群同态

设 $G, G^{'}$ 为群。映射 $f : G \to G^{'}$ 称为群同态，若对任意 $α, β \in G$ ，都有

$f (α β) = f (α) \cdot f (β)$

基本性质：

若 $f$ 还是双射，则称其为同构，记作 $G ≅ G^{'}$ 。
$f (1) = 1$ 。
$f (α^{- 1}) = f (α)^{- 1}$ ，因为 $f (α) f (α^{- 1}) = f (α α^{- 1}) = f (1) = 1$ 。
若 $f : G \to H$ ，则 $f (G) < H$ （像是子群）。
定义同态 $f$ 的核与像：

$ker (f) = def f^{- 1} (1) = {α \in G ∣ f (α) = 1}$

$Im (f) = def f (G) \subseteq G^{'}$

核与像是子群

验证非空子集 $H$ 是子群，只需验证：

$\forall α, β \in H, α^{- 1} β \in H$

对核：若 $α, β \in ker (f)$ ，则

$f (α^{- 1} β) = f (α)^{- 1} f (β) = 1^{- 1} \cdot 1 = 1$

故 $α^{- 1} β \in ker (f)$ ，从而 $ker (f) < G$ 。类似可验证 $Im (f) < G^{'}$ 。

定理： $f$ 是单射 $⟺$ $ker (f) = {1}$

证明：

" $\Rightarrow$ "：若 $f$ 是单射， $x \in ker (f)$ ，则 $f (x) = 1 = f (1)$ ，由单射得 $x = 1$ ，故 $ker (f) = {1}$ 。

" $\Leftarrow$ "：若 $ker (f) = {1}$ ，设 $f (α) = f (β)$ ，则

$f (α β^{- 1}) = f (α) f (β)^{- 1} = 1$

故 $α β^{- 1} \in ker (f) = {1}$ ，即 $α = β$ ，故 $f$ 为单射。 $■$

例：定义 $f : Z \to Z_{n}$ ， $i \mapsto \overset{ˉ}{i}$ （典型映射）。验证同态：

$f (i + j) = \overline{i + j} = \overset{ˉ}{i} + \overset{ˉ}{j} = f (i) + f (j) ✓$

9. 循环群的同构

例：设 $⟨ α ⟩ = {1, α, α^{2}, \dots, α^{n - 1}}$ ，定义

$f : Z_{n} \to ⟨ α ⟩, \overset{ˉ}{i} \mapsto α^{i}$

则 $f$ 为同构。

证明：

同态： $f (\overset{ˉ}{i} + \overset{ˉ}{j}) = α^{i + j} = α^{i} α^{j} = f (\overset{ˉ}{i}) f (\overset{ˉ}{j})$
单射： 若 $\overset{ˉ}{i} \in ker (f)$ ，则 $α^{i} = 1$ 。由于 $α$ 的阶为 $n$ ，故 $n ∣ i$ ，于是 $\overset{ˉ}{i} = \overset{ˉ}{0}$ ，故核平凡， $f$ 为单射。
满射： $⟨ α ⟩$ 中每个元素都形如 $α^{i}$ ，故 $f$ 为满射。

因此 $f$ 为同构。 $■$

例：定义

$f : Z_{n} \to {e^{2 πik / n} 0 \leq k \leq n - 1, k \in Z}, \overset{ˉ}{k} \mapsto e^{2 πik / n}$

验证同态：

$f (\overset{ˉ}{k} + \overset{ˉ}{k}^{'}) = e^{2 πi (k + k^{'}) / n} = e^{2 πik / n} \cdot e^{2 πi k^{'} / n} = f (\overset{ˉ}{k}) f (\overset{ˉ}{k}^{'}) ✓$

10. 自同构

定义： 若 $f : G \to G$ 是同构，则称 $f$ 为 $G$ 的自同构。

所有 $G$ 的自同构构成的集合记为 $Aut (G)$ ，在映射的复合运算下构成群：

$(Aut (G), \circ)$

因为对任意 $σ, τ \in Aut (G)$ ，都有 $σ \circ τ^{- 1} \in Aut (G)$ 。

Lec 03

1. 生成子群（Generated Subgroup）

定义

设 $G$ 为群， $S \subseteq G$ ，定义

$⟨ S ⟩ = def G 中包含 S 的最小子群 = def G 中所有包含 S 的子群的交$ 记 $S^{- 1} = def {α^{- 1} ∣ α \in S}$

则 $⟨ S ⟩ = {α_{1} α_{2} \dots α_{m} ∣ m \geq 0, α_{i} \in S \cup S^{- 1}}$

其中 $m = 0$ 时约定乘积为单位元 $1$ ，且有

$(α_{1} α_{2} \dots α_{m})^{- 1} = α_{m}^{- 1} \dots α_{1}^{- 1}$

证明（两个定义等价）：

$(\supseteq)$ ：由封闭性①验证右侧包含于 $⟨ S ⟩$ 。
$(\subseteq)$ ：只需证右侧集合本身构成子群，由封闭性①②③逐一验证即可。 $■$

术语：

$⟨ S ⟩$ 称为由 $S$ 生成的子群
若 $∣ S ∣ < \infty$ ，则 $⟨ S ⟩$ 称为有限生成群， $S$ 称为生成元系

2. 循环群（Cyclic Group）

定义与两种情形

当 $S = {α}$ 为单元素集时， $⟨ S ⟩ = ⟨ α ⟩ = {α^{i} ∣ i \in Z}$ ，这种形式的群称为循环群。

情形①： $o (α) = \infty$ （无限循环群）

$⟨ α ⟩ = {\dots, α^{- 2}, α^{- 1}, 1, α, α^{2}, \dots}$

同构： 定义

$f : ⟨ α ⟩ \to (Z, +), α^{i} \mapsto i$

$f$ 是群同构（无限循环群同构于整数加法群 $Z$ ）。

验证单射： $ker (f) = f^{- 1} (0) = {α^{0}} = {1}$ ，故为单射。 $■$

情形②： $o (α) = n$ （有限循环群）

$⟨ α ⟩ = {α^{1}, α^{2}, \dots, α^{n} = 1}$

同构： 定义

$f : ⟨ α ⟩ \to (Z_{n}, +), α^{i} \mapsto \overset{ˉ}{i}$

$f$ 是群同构（所有阶为 $n$ 的有限循环群均同构于 $Z_{n}$ ）。

3. 循环群中元素的阶

核心公式

定理： 设 $G = ⟨ α ⟩$ ， $o (α) = n$ ，则 $o (α^{k}) = \frac{n}{( n , k )}$

证明： 设 $o (α^{k}) = N$ 。

一方面， $(α^{k})^{\frac{n}{( n , k )}} = α^{\frac{nk}{( n , k )}} = (α^{n})^{\frac{k}{( n , k )}} = 1 ⟹ N ∣ \frac{n}{( n , k )}$ 另一方面， $α^{k N} = 1 ⟹ n ∣ k N ⟹ \frac{n}{( n , k )} \frac{k}{( n , k )} \cdot N ⟹ \frac{n}{( n , k )} ∣ N$

（因为 $g cd (\frac{n}{( n , k )}, \frac{k}{( n , k )}) = 1$ ）

综合得 $N = \frac{n}{( n , k )}$ 。 $■$

生成元的刻画

$⟨ α ⟩ 中阶为 n 的元素（即生成元） = {α^{k} (n, k) = 1}$

生成元个数为 $φ (n)$ （Euler 函数）。

4. 循环群的子群结构

定理 1（无限循环群）

定理： 设 $G = ⟨ α ⟩$ ， $∣ G ∣ = \infty$ ，则 $G$ 的全部子群为： ${1}, ⟨ α^{m} ⟩ (m \geq 1)$ 且 $[G : ⟨ α^{m} ⟩] = m$ （即 $⟨ α^{m} ⟩$ 在 $G$ 中的指数为 $m$ ）。

$⟨ α^{m} ⟩$ 的所有陪集为：

$⟨ α^{m} ⟩, α ⟨ α^{m} ⟩, α^{2} ⟨ α^{m} ⟩, \dots, α^{m - 1} ⟨ α^{m} ⟩$

对任意 $α^{k} \in G$ ，有 $α^{k} \in α^{k mod m} ⟨ α^{m} ⟩$ 。

证明（任意子群均为此形式）：

设 $H \neq = {1}$ ，令 $m = min {m \in Z^{+} ∣ α^{m} \in H}$ ，断言 $H = ⟨ α^{m} ⟩$ 。

反证：设 $\exists α^{i} \in H$ ， $α^{i} \in / ⟨ α^{m} ⟩$ 。由带余除法 $i = q m + r$ ， $0 < r < m$ ，则

$α^{r} = α^{i} \cdot (α^{m})^{- q} \in H$

与 $m$ 的最小性矛盾。故 $H = ⟨ α^{m} ⟩$ 。 $■$

推论： 无限循环群 $G = ⟨ α ⟩$ 的生成元恰好是 $α$ 和 $α^{- 1}$ 。

定理 2（有限循环群）

定理： 设 $G = ⟨ α ⟩$ ， $∣ G ∣ = n$ ，则 $G$ 的全部子群为： $⟨ α^{m} ⟩, m 遍历 n 的所有正因子$ 且 $[G : ⟨ α^{m} ⟩] = m$ 。

证明： 对任意 $H < G$ ，若 $[G : H] = m$ （即 $∣ H ∣ = n / m$ ），令

$m^{'} = min {m^{'} \in Z^{+} ∣ α^{m^{'}} \in H}$

则 $H = ⟨ α^{m^{'}} ⟩$ （同上面的论证）。只需证 $m^{'} = m$ ：

若 $m^{'} < m$ ：由 Lagrange， $(α^{m^{'}})^{n / m} = 1$ ，但 $o (α^{m^{'}}) = n / m^{'} > n / m$ ，矛盾。
若 $m^{'} > m$ ： $α^{m^{'} \cdot n / m} = 1 ⟹ n ∣ m^{'} n / m ⟹ m ∣ m^{'} ⟹ α^{m^{'}} \in ⟨ α^{m} ⟩$ ，故 $H ⊊ ⟨ α^{m} ⟩$ ，与 $∣ H ∣ = ∣ ⟨ α^{m} ⟩ ∣ = n / m$ 矛盾。

故 $m^{'} = m$ ， $H = ⟨ α^{m} ⟩$ 。 $■$

重要推论（Comments）：

① 对 $d ∣ n$ ，存在 $G$ 中唯一阶为 $d$ 的子群。

② 循环群的子群仍为循环群。

生成元总结

情形	生成元	个数
$∥ G ∥ = \infty$	$α, α^{- 1}$	$2$
$∥ G ∥ = n$	${α^{k} ∣ (k, n) = 1, 0 \leq k \leq n - 1}$	$φ (n)$

5. 循环群的自同构群

设 $G = ⟨ α ⟩$ ， $f : G \to G$ 是 $G$ 的自同构，令 $f (α) = α^{m}$ ，则

$f (G) = {(α^{m})^{i} ∣ i \in Z} = ⟨ α^{m} ⟩ = G$

$∣ G ∣ = \infty$ 时： $⟨ α^{m} ⟩ = G ⟺ m = \pm 1$ ，故自同构只有两个： $α \mapsto α$ 和 $α \mapsto α^{- 1}$ 。
$∣ G ∣ = n$ 时： $⟨ α^{m} ⟩ = G ⟺ (m, n) = 1$ ，故 $∣ Aut (G) ∣ = φ (n)$ 。

6. 应用：离散对数问题与 ElGamal 加密

设 $G = ⟨ g ⟩$ ， $∣ G ∣ = q$ （ $q$ 为素数），对 $\forall y \in Z_{q}$ ，令 $h = g^{y}$ 。

离散对数问题： 给定 $(G, g, q, h)$ ，求 $y$ （即 $y = lo g_{g} h$ ）。

ElGamal 加密方案：

角色	内容
公钥（public key）	$(G, g, q, h)$ ，其中 $y \xleftarrow{\$ } \mathbb{Z}_q $，$ h = g^y$
私钥（secret key）	$(G, g, q, y)$
加密（Sender）	$m \in G$ ，随机 $s \in Z_{q}$ ，发送 $(g^{s}, h^{s} \cdot m)$
解密（Receiver）	$\frac{h ^{s} \cdot m}{( g ^{s} ) ^{y}}$

结论： $(Z_{n}^{*}, \cdot)$ 是循环群，当且仅当 $n = 2, 4, p^{k}, 2 p^{k}$ （ $p$ 为奇素数， $k \geq 1$ ）。

7. 正规子群（Normal Subgroup）

商群的构造动机

设 $G$ 为群， $N < G$ ，令 $G / N = {α_{1} N, α_{2} N, \dots}$ 为所有左陪集的集合（商集）。

尝试定义运算： $α N \otimes βN = def α βN$ 。

well-defined 的条件： 若 $α^{'} \sim α$ （即 $α^{'} \in α N$ ）， $β^{'} \sim β$ （即 $β^{'} \in βN$ ），需要 $α^{'} β^{'} N = α βN$ ，即 $α^{'} β^{'} \in α βN$ 。

推导过程：

$α^{'} β^{'} \in α βN ⟺ α N \cdot βN \subseteq α βN ⟺ NβN \subseteq βN ⟺ β^{- 1} NβN \subseteq N$

$⟺ β^{- 1} Nβ \subseteq N (β \to β^{- 1}) ⟺ N \subseteq βN β^{- 1} ⟺ N = β^{- 1} Nβ, \forall β \in G$

定义

定义： 设 $G$ 为群， $N < G$ 。若对 $\forall β \in G$ 均有 $β^{- 1} Nβ = N$ 则称 $N$ 是 $G$ 的正规子群，记作 $N ⊴ G$ （或 $N ◃ G$ ）。

等价条件： $N ⊴ G ⟺ Nβ = βN, \forall β \in G$ （左右陪集相同）。

Comments：

正规子群等价于 $Nβ = βN$ （不要求 $N$ 与每个元素交换，而是整体陪集相等）。
若 $G$ 为 Abel 群，则 $G$ 的任何子群均为正规子群（normal）。

商群

定理： 设 $N ⊴ G$ ，则 $(G / N, \otimes)$ 是群，称为 $G$ 关于 $N$ 的商群，其中运算为 $α N \otimes βN = α βN$

记 $\overset{α}{ˉ} = α N$ ，则 $\overset{ˉ}{G} = {\overset{α}{ˉ} ∣ α \in G}$ ，运算 $\overset{α}{ˉ} \cdot \overset{ˉ}{β} = \overline{α β}$ 。

8. 同态基本定理（First Isomorphism Theorem）

ker(f) 是正规子群

设 $f : G \to H$ 是群同态，则 $ker (f) ⊴ G$ 。

证明： 对任意 $α \in ker (f)$ ， $β \in G$ ：

$f (β^{- 1} α β) = f (β)^{- 1} \cdot f (α) \cdot f (β) = f (β)^{- 1} \cdot 1 \cdot f (β) = 1$

故 $β^{- 1} α β \in ker (f)$ ，即 $β^{- 1} ker (f) β \subseteq ker (f)$ 。（注： $\subseteq$ 与 $=$ 等价）故 $ker (f) ⊴ G$ 。 $■$

定理

同态基本定理： 设 $f : G \to H$ 是满同态，则 $G / ker (f) ≅ H$ 同构映射为 $φ : G / ker (f) \to H, \overset{α}{ˉ} \mapsto f (α)$

证明：

① Well-defined： 若 $α \sim α^{'}$ （即 $α^{'} \in α ker (f)$ ，即 $α^{- 1} α^{'} \in ker (f)$ ），则

$f (α^{- 1} α^{'}) = 1 ⟹ f (α^{'}) = f (α)$

故 $φ (\overset{α}{ˉ}) = f (α)$ 与代表元选取无关。 $✓$

② 同态：

$φ (\overset{α}{ˉ} \cdot \overset{ˉ}{β}) = φ (\overline{α β}) = f (α β) = f (α) \cdot f (β) = φ (\overset{α}{ˉ}) \cdot φ (\overset{ˉ}{β}) ✓$

③ 单射：

$φ (\overset{α}{ˉ}) = φ (\overset{ˉ}{β}) ⟺ f (α) = f (β) ⟺ f (α^{- 1} β) = 1 ⟺ α^{- 1} β \in ker (f) ⟺ \overset{α}{ˉ} = \overset{ˉ}{β}$

④ 满射： 因 $f$ 满， $\forall s \in H$ ， $\exists α \in G$ 使 $f (α) = s$ ，故 $φ (\overset{α}{ˉ}) = s$ 。 $✓$

综合①②③④， $φ$ 是同构。 $■$

9. 同态基本定理的例子

例 1

$f : (Z, +) \to (Z_{n}, +), α \mapsto α mod n$

$f$ 是满同态， $ker (f) = n Z$ ，由同态基本定理：

$Z_{n} ≅ Z / n Z$

例 2

设 $p$ 为素数， $n \geq 1$ ，定义

$f : (p^{n} Z, +) \to (Z_{p}, +), α \mapsto \frac{α}{p ^{n}} mod p$

验证同态：

$f (α + β) = \frac{α + β}{p ^{n}} mod p = \frac{α}{p ^{n}} mod p + \frac{β}{p ^{n}} mod p = f (α) + f (β) ✓$

$f$ 满（ $f$ 是满射）， $ker (f) = p^{n + 1} Z$ ，由同态基本定理：

$\frac{p ^{n} Z}{p ^{n + 1} Z} ≅ Z_{p}$

知识结构总览

循环群 ⟨α⟩
    │
    ├── o(α)=∞  ──→  同构于 (ℤ,+)
    │               子群: {1}, ⟨αᵐ⟩ (m≥1), 指数=m
    │
    └── o(α)=n  ──→  同构于 (ℤₙ,+)
                    子群: ⟨αᵐ⟩, m|n, 指数=m
                    元素 αᵏ 的阶 = n/(n,k)
                    生成元个数 = φ(n)

正规子群 N◁G
    │
    └──→ 商群 G/N 有意义
              │
              └──→ 同态基本定理: G/ker(f) ≅ Im(f)

Lec 04

1. 基本定义

设 $Σ = a_{1}, \dots, a_{n}$ 为一个有限集合。

定义： $Σ$ 上的置换（Permutation） 是 $Σ \to Σ$ 的一一映射（双射）。

置换 $σ$ 通常写成两行记号：

$σ = (a_{1} σ (a_{1}) \dots \dots a_{n} σ (a_{n}))$

例：

$σ = (132231)$

表示 $σ (1) = 3, σ (2) = 2, σ (3) = 1$ 。

2. 对称群与置换群

设 $S (Σ)$ 为 $Σ$ 上所有置换的集合，则 $∣ S (Σ) ∣ = n!$ 。

置换的乘法定义为映射的复合： $(σ \cdot τ) (a) = σ (τ (a))$ （即先作 $τ$ ，再作 $σ$ ）。

$(S (Σ), \cdot)$ 构成群，幺元为恒等映射 $e$ ，满足 $e (a) = a$ 。 $S (Σ)$ 称为 $Σ$ 上的对称群（Symmetric Group）

$S (Σ)$ 的任一子群称为 $Σ$ 上的置换群（Permutation Group）

特别地，当 $Σ = {1, 2, \dots, n}$ 时，将 $S (Σ)$ 简记为 $S_{n}$ ，称为 $n$ 次对称群，其阶为 $n!$ 。

3. 轮换与对换

3.1 轮换（Cycle）

定义： 若置换 $σ$ 满足 $a_{1} \mapsto a_{2} \mapsto \dots \mapsto a_{k} \mapsto a_{1}$ 而其余元素不动，则称 $σ$ 为 $k$ -轮换，记作 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k})$ 。

定理： $S_{n}$ 中任一置换均可表示为若干不相交轮换的乘积，且在不计顺序的意义下唯一。

不相交的轮换之间乘法可交换顺序（因为它们作用在不重叠的元素上）。

3.2 对换（Transposition）

定义： 含两个元素的轮换 $(i, j)$ （ $i \neq = j$ ）称为对换，其作用为 $i \mapsto j, j \mapsto i$ ，其余元素不动。

长轮换分解为对换之积：

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = (a_{1}, a_{n}) (a_{1}, a_{n - 1}) \dots (a_{1}, a_{2})$

注：此处乘法约定为从右往左依次作用，即对元素 $x$ 先作用最右边的置换。读者可逐一验证： $a_{1} \mapsto a_{2}, a_{2} \mapsto a_{3}, \dots, a_{n} \mapsto a_{1}$ 。

结合不相交轮换分解定理，立得：

推论： $n \geq 2$ 时， $S_{n}$ 中任一置换均可表示为若干对换的乘积（表示方式不唯一）。

注： $e = (1, 2) (1, 2)$ ，即幺元也可写成偶数个对换之积。

3.3 生成元集 $(1, 2), (1, 3), \dots, (1, n)$

命题： $(1, 2), (1, 3), \dots, (1, n)$ 可以生成 $S_{n}$ 中任意置换（即它是 $S_{n}$ 的一个生成元集）。

证明： 由推论，只需证任意对换 $(i, j)$ 均可由 $(1, k)$ 表示。

① 若 $i = 1$ 或 $j = 1$ ： $(i, j)$ 本身就在生成元集中。 $✓$

② 若 $i, j \neq = 1$ ： 则

$(i, j) = (1, i), (1, j), (1, i)$

验证（按从右往左的作用顺序，逐个追踪各元素）：

$i$ ： $i (1, i) 1 (1, j) 1 (1, i) i$ （ $1$ 被 $(1, i)$ 映到 $i$ ）

重新追踪： $i 最右 (1, i) 1 (1, j) 1$ （ $1$ 与 $j$ 互换，但 $1 \neq = j$ ，故映到 $j$ ）

完整追踪： $i (1, i) 1 (1, j) j (1, i) j$ （ $j \neq = 1, i$ ，不动） $\Rightarrow i \mapsto j$ ✓
$j$ ： $j (1, i) j (1, j) 1 (1, i) i$ $\Rightarrow j \mapsto i$ ✓
$x \neq = 1, i, j$ ：三步均不动 $\Rightarrow x \mapsto x$ ✓

$■$

4. 奇偶置换

4.1 定义

设 $σ \in S_{n}$ ，将 $σ$ 表示为对换之积 $σ = t_{1} t_{2} \dots t_{m}$ 。

定义：

若 $m$ 为偶数，称 $σ$ 为偶置换；

若 $m$ 为奇数，称 $σ$ 为奇置换。

$n = 1$ 时定义 $e$ 为偶置换。

4.2 奇偶性是良定义的

定理： $σ \in S_{n}$ 不能同时表示为偶数个对换之积和奇数个对换之积，即 $σ$ 的奇偶性由 $σ$ 本身唯一确定，与具体分解方式无关。

证明： 定义 $c (σ)$ 为 $σ$ 不相交轮换分解中轮换的个数（固定点计为 $1$ -轮换）。

关键引理： 设 $t = (i, j)$ 为对换，则

$c (t σ) = c (σ) \pm 1$

引理的证明（分两种情形）：

情形① $i, j$ 属于 $σ$ 的同一轮换：

设该轮换为 $(a, i, \dots, x, b, j, \dots, x^{'})$ ，则

$(i, j) (a, i, \dots, x, b, j, \dots, x^{'}) = (a, j, \dots, x^{'}) (i, \dots, x, b)$

一个轮换分裂为两个，故 $c (t σ) = c (σ) + 1$ 。

情形② $i, j$ 属于 $σ$ 的不同轮换：

设两轮换分别为 $(a, i, \dots, x)$ 和 $(b, j, \dots, x^{'})$ ，则

$(i, j) (a, i, \dots, x) (b, j, \dots, x^{'}) = (a, j, \dots, x^{'}, b, i, \dots, x)$

两个轮换合并为一个，故 $c (t σ) = c (σ) - 1$ 。

无论哪种情形， $c (t σ)$ 与 $c (σ)$ 恰差 $1$ 。 $■$ （引理）

回到定理： 注意 $c (e) = n$ 。若 $σ = t_{1} t_{2} \dots t_{m}$ ，从 $e$ 出发依次左乘对换共 $m$ 步，每步轮换数变化 $\pm 1$ ，故

$c (σ) \equiv n - m (mod 2)$

若另有 $σ = t_{1}^{'} t_{2}^{'} \dots t_{m^{'}}^{'}$ ，则同理 $c (σ) \equiv n - m^{'} (mod 2)$ ，从而 $m \equiv m^{'} (mod 2)$ ，奇偶性相同。 $■$

推论： 定义符号函数（sign）：

$sgn : S_{n} \to {1, - 1}, σ \mapsto {+ 1 - 1 σ 为偶置换 σ 为奇置换$

则 $sgn (σ τ) = sgn (σ) \cdot sgn (τ)$ ，即 $sgn$ 是群同态。

5. 交错群

5.1 定义

定义： $A_{n} = def {σ \in S_{n} ∣ σ 为偶置换}$ ，称为 $n$ 次交错群（Alternating Group）。

$A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的子群， $A_{n} < S_{n}$ 。

5.2 $∣ A_{n} ∣ = n! /2$

令 $B_{n} = S_{n} ∖ A_{n}$ （全体奇置换）。取 $τ = (1, 2)$ ，定义

$f : A_{n} \to B_{n}, σ \mapsto τ σ$

$f$ 是双射：对 $\forall ρ \in B_{n}$ ， $τ ρ$ 是偶置换（故 $τ ρ \in A_{n}$ ），且 $f (τ ρ) = τ (τ ρ) = τ^{2} ρ = ρ$ （因为 $τ^{2} = e$ ），故逆映射为 $ρ \mapsto τ ρ$ 。

这里是利用构造逆映射——如果能找到 g 使得 $g \circ f = id$ 则 f 必为双射

从而

$∣ A_{n} ∣ = ∣ B_{n} ∣ = \frac{n !}{2}$

5.3 $A_{n} ⊴ S_{n}$

方法一（利用同态核）： $sgn : S_{n} \to {1, - 1}$ 是群同态， $ker (sgn) = A_{n}$ 。由”同态的核是正规子群”立得 $A_{n} ⊴ S_{n}$ 。

方法二（利用指数为 2 的定理）： $[S_{n} : A_{n}] = 2$ ，由下面的定理立得。

6. 指数为 2 的子群必为正规子群

定理： 设 $H < G$ ，若 $[G : H] = 2$ ，则 $H ⊴ G$ 。

证明： 指数为 $2$ 意味着 $G$ 恰好被分解为两个不相交的左陪集，同时也被分解为两个不相交的右陪集：

$G = H ⊔ a H (a \in / H), G = H ⊔ H a (a \in / H)$

对 $\forall a \in / H$ ：左陪集 $a H = G ∖ H$ ，右陪集 $H a = G ∖ H$ ，故 $a H = H a$ 。
对 $a \in H$ ： $a H = H = H a$ 。

因此 $\forall, a \in G$ ， $a H = H a$ ，即 $H ⊴ G$ 。 $■$

7. 单群与 $A_{n}$ 的结构定理

7.1 单群

定义： 若群 $G$ 只含平凡正规子群（即 $e$ 与 $G$ 本身），则称 $G$ 为单群（Simple Group）。

7.2 结论

定理（不加证明）：

$n \geq 5$ 时， $A_{n}$ 是 $S_{n}$ 的唯一非平凡正规子群。

$n \geq 5$ 时， $A_{n}$ 是单群。

注： $n \leq 4$ 时以上结论不成立。例如 $A_{4}$ 含正规子群 Klein 四元群 $V_{4} = e, (12) (34), (13) (24), (14) (23)$ ，故 $A_{4}$ 不是单群。

8. 关于在集合上的作用

置换表示的定义

设 $G$ 为群， $Σ$ 为集合， $∣Σ∣ = n$ 。群同态 $f : G \to S (Σ)$ 称为 $G$ 的一个置换表示。若 $f$ 是单射，则称 $f$ 为忠实表示。此时对每个 $g \in G$ ，有 $f (g) \in S (Σ)$ 。

💡 直觉：置换表示的意思是”用置换来描述群元素的行为”。 $S (Σ)$ 是 $Σ$ 上所有双射（置换）构成的群。 $f$ 把群 $G$ 的每个元素 $g$ 对应到一个”重排 $Σ$ 的方式” $f (g)$ 。忠实表示意味着不同的群元素对应不同的置换——群的结构被”完整地”编码进去了，没有信息损失。

群作用的定义

$G$ 在 $Σ$ 上的一个作用是映射

$F : G \times Σ \to Σ, (g, a) \mapsto g \cdot a$

满足以下两条公理：

单位元公理： $1 \cdot a = a$ ，对所有 $a \in Σ$ ；
相容性公理： $(g_{1} g_{2}) \cdot a = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a)$ ，对所有 $g_{1}, g_{2} \in G$ ， $a \in Σ$ 。

💡 直觉：群作用描述的是”群元素如何移动集合中的点”。你可以把 $g \cdot a$ 理解为” $g$ 把点 $a$ 搬到了哪里”。两条公理保证这个”搬动”是自洽的：单位元不动任何点；先用 $g_{2}$ 搬再用 $g_{1}$ 搬，等价于直接用 $g_{1} g_{2}$ 搬。

两个定义之间的联系

群作用与置换表示本质上是等价的：给定一个群作用 $F$ ，对每个固定的 $g \in G$ ，映射 $a \mapsto g \cdot a$ 是 $Σ$ 上的一个置换，从而确定一个群同态 $f : G \to S (Σ)$ ；反之亦然。忠实作用（即不同的 $g$ 诱导不同的置换）对应忠实表示（ $f$ 为单射）

置换表示诱导群作用

给定 $G$ 的置换表示 $f : G \to S (Σ)$ ，令

$g \cdot a = def f (g) (a), \forall g \in G,; a \in Σ$

验证两条公理：

① $1 \cdot a = f (1) (a) = id (a) = a$ ✓

② $g_{1} g_{2} \cdot a = f (g_{1} g_{2}) (a) = f (g_{1}) (f (g_{2}) (a)) = g_{1} \cdot (g_{2} \cdot a)$ ✓

💡 解释：这里说的是，如果你已经有了一个置换表示 $f$ ，那么自然就得到了一个作用——直接把 $f (g)$ 作用在 $a$ 上即可。公理①用到了 $f$ 是群同态所以 $f (1) = id$ ；公理②用到了 $f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) \circ f (g_{2})$ （同态性质）。

$\Rightarrow$ 群通过一个置换表示诱导一个作用。

群作用诱导置换表示

给定一个作用 $F : G \times Σ \to Σ$ ，定义 $f : G \to S (Σ)$ ：

$f (g) (a) = def g \cdot a, \forall a \in Σ,; g \in G$

💡 解释：反过来，如果你有一个作用，对每个固定的 $g$ ，映射 $a \mapsto g \cdot a$ 是 $Σ$ 到自身的一个函数。我们需要验证它其实是个双射（可逆的），才能说它是 $S (Σ)$ 的元素。

验证 $f (g)$ 是双射：

单射：若 $f (g) (a) = f (g) (b)$ ，即 $g a = g b$ ，两边左乘 $g^{- 1}$ 得 $a = b$ 。 $∴ f (g)$ 单。
满射： $\forall b \in Σ$ ，取 $a = g^{- 1} b$ ，则 $f (g) (g^{- 1} b) = g g^{- 1} b = b$ 。 $∴ f (g)$ 满。

故 $f (g) \in S (Σ)$ ，且 $f$ 构成群同态（由作用的公理②保证）。

💡 解释：单射的证明思路是” $g$ 的作用可以被 $g^{- 1}$ 撤销”，这正是群结构的体现。满射则说明每个目标点都能被”打到”——用 $g^{- 1}$ 先把目标点”倒推回去”再作用就行了。

忠实表示的判定

$g \in ker (f) ⟺ f (g) = id ⟺ g \cdot a = a,; \forall a \in Σ ⟺ g = 1$

即 $ker (f) = 1$ ， $f$ 是忠实表示（单射）。

💡 解释：核 $ker (f)$ 是所有”作用等于恒等”的群元素的集合。若一个 $g \neq = 1$ 也不动所有点，那它在置换表示中就”隐形了”，表示就不忠实。忠实表示等价于”只有单位元才不动所有点”。

置换表示与群作用的等价性

设

$A$ ：所有置换表示 $f : G \to S (Σ)$ 的集合
$B$ ：所有群作用 $F : G \times Σ \to Σ$ 的集合

定义互逆对应：

$φ : A \to B, f \mapsto 由 f 诱导的作用$

$π : B \to A, F \mapsto 由 F 诱导的置换表示 f$

满足 $π \circ φ = id_{A}$ ， $φ \circ π = id_{B}$ ，即两者一一对应。

💡 解释：这是本节最核心的结论——置换表示和群作用本质上是同一件事的两种语言。你可以在两种视角之间自由切换：

从置换表示出发： $f (g)$ 是个置换，作用就是”拿这个置换去动点”；

从群作用出发：固定 $g$ ，” $g$ 动点的方式”就是一个置换。

$φ$ 和 $π$ 互为逆映射，说明这两种语言之间没有任何信息的损失或增加。

例1：右乘逆元的置换表示

取 $Σ = G$ ，定义 $f : G \to S (G)$ ：

$f (g) (a) = def a g^{- 1}, \forall a \in G$

💡 解释：这里集合就取群本身 $G$ ，每个元素 $g$ 对应的置换是”把所有元素右乘 $g^{- 1}$ “。注意是 $g^{- 1}$ 而不是 $g$ ，这是为了让同态方向对。

$f (g)$ 是双射：

单射： $a g^{- 1} = b g^{- 1} \Rightarrow a = b$ ✓
满射： $f (g) (b g) = b g g^{- 1} = b$ ， $\forall b \in G$ ✓

$f$ 是群同态（验证 $f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) \circ f (g_{2})$ ）：

$f (g_{1} g_{2}) (a) = a (g_{1} g_{2})^{- 1} = a g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$

$f (g_{1}) (f (g_{2}) (a)) = f (g_{1}) (a g_{2}^{- 1}) = a g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1} ✓$

💡 解释： $(g_{1} g_{2})^{- 1} = g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$ 是群中逆元的反序法则，这里用到了它。正因为要用右乘 $g^{- 1}$ （而不是 $g$ ），才能让乘法顺序与群同态相容。

例2：左乘的置换表示（Cayley 表示）

取 $Σ = G$ ，定义 $f : G \to S (G)$ ：

$f (g) (a) = def g a, \forall a \in G$

$f$ 是群同态：

$f (g_{1} g_{2}) (a) = g_{1} g_{2} a = g_{1} (g_{2} a) = f (g_{1}) (f (g_{2}) (a)) ✓$

💡 解释：这就是著名的 Cayley 定理的核心构造——每个群都同构于某个置换群的子群。左乘置换表示是忠实的（因为 $g a = a$ 对所有 $a$ 成立当且仅当 $g = 1$ ），所以 $G$ 可以嵌入 $S (G)$ 。与例1相比，左乘用 $g$ 本身（不需要取逆），同态性质直接由结合律保证，更加自然。

知识结构总览

S_n：n 次对称群（阶为 n!）
  │
  ├─ 分解定理：任意 σ = 不相交轮换之积（唯一）
  │
  ├─ 对换生成：任意 σ = 对换之积（不唯一）
  │    └─ {(1,2),(1,3),...,(1,n)} 生成整个 S_n
  │
  ├─ 奇偶性：sgn(σ) 良定义
  │    ├─ 偶置换 → A_n（交错群）
  │    └─ 奇置换 → B_n，|A_n| = |B_n| = n!/2
  │
  └─ 正规子群结构
       ├─ A_n ◁ S_n（[S_n : A_n] = 2，或 ker(sgn)）
       └─ n >= 5：A_n 是 S_n 唯一非平凡正规子群，且 A_n 是单群

Lec 05

群在自身上的作用

左乘表示

定义映射 $f : G \to S (G)$ ，对任意 $g \in G$ ，令

$f (g) (a) = def g a, \forall a \in G$

即群元素 $g$ 对应一个置换：将 $a$ 映射到 $g a$ 。简记为：

$g \cdot a = def g a$

右乘逆元表示

类似地，可定义另一种作用：

$f (g) (a) = def a g^{- 1}, \forall a \in G$

即 $g \cdot a = def a g^{- 1}$ 。

这里用 $a g^{- 1}$ 而非 $a g$ ，是为了保证群同态性质： $(ba) \cdot x = b \cdot (a \cdot x)$ 。若定义 $g \cdot a = a g$ ，则 $(ba) \cdot x = x (ba)$ ，而 $b \cdot (a \cdot x) = b \cdot (x a) = x ab$ ，两者不等。用逆元则可使两边一致。

像是子群

$f (G) < S (G)$

$f (G)$ 是 $f$ 的像，即

$f (G) = f (g) ∣ g \in G \subseteq S (G)$

$<$ 在群论中表示子群，即 $f (G)$ 是 $S (G)$ 的一个子群。

Cayley 定理

定理（Cayley）： 任意群都同构于某个置换群。

证明思路：

由群同态第一同构定理：

$G / ker (f) ≅ f (G)$

左乘表示是忠实的（faithful），即 $ker (f) = e$ ，从而：

$G ≅ f (G)$

直觉： $f$ 将 $G$ 的每个元素”原封不动”地对应到 $f (G)$ 里的一个置换，没有任何两个不同元素被粘合，因此 $G$ 与 $f (G)$ 完全同构——一个用群元素描述，一个用置换描述。

$f (G)$ 是 $S (G)$ 的子群，而 $S (G)$ 的子群本身也是置换群，故任意群都同构于某个置换群。 $■$

陪集空间上的群作用

设 $H \leq G$ （不一定是正规子群），定义 $H$ 在 $G$ 中所有左陪集构成的集合：

$Σ = {a H ∣ a \in G}$

定义映射 $f : G \to S (Σ)$ ，即 $G$ 在 $Σ$ 上的作用：

$f (g) (a H) = def g a H$

直观理解： 元素 $g$ 通过左乘，将一个陪集”搬”到另一个陪集的位置。

同态的核与正规核心

核的定义：

$ker (f) = {g \in G ∣ f (g) = id}$

即所有”不改变任何陪集位置”的元素 $g$ 的集合。

推导 $ker (f)$ 的具体形式：

由定义： $g \in ker (f)$ 当且仅当对所有 $a \in G$ ，都有 $g a H = a H$ 。
由陪集性质： $g a H = a H ⟺ a^{- 1} g a \in H$ 。
等价变形： $a^{- 1} g a \in H ⟺ g \in a H a^{- 1}$ （即 $g$ 属于 $H$ 的共轭子群）。
由于该条件对所有 $a \in G$ 都须成立，取交集：

$ker (f) = ⋂_{a \in G} a H a^{- 1}$

核心结论：

这个交集 $N = a \in G ⋂ a H a^{- 1}$ 称为 $H$ 在 $G$ 中的正规核心（Normal Core），记作 $Core_{G} (H)$ 。

性质：

$N$ 是 $G$ 的正规子群（因为它是群同态的核）。
$N$ 是包含在 $H$ 内部的最大的 $G$ 的正规子群。
$N \leq H \leq G$ 。

右诱导表示

右陪集集合 $Σ = H a ∣ a \in G$ ，定义作用：

$g \cdot H a = def H a g^{- 1}$

用 $a g^{- 1}$ 而非 $a g$ 是为保证满足群作用的结合律（同态性）。

$M$ 的正规化子

设 $M \leq G$ ，定义 $M$ 在 $G$ 中的正规化子（Normalizer）：

$N_{G} (M) = def {g \in G ∣ g^{- 1} M g = M}$

等价地， $g M g^{- 1} = M$ 。可以验证 $N_{G} (M) \leq G$ 。

$N_{G} (M)$ 是使 $M$ 成为其正规子群的最大子群，即 $M ⊴ N_{G} (M) \leq G$ 。

$G$ 在共轭子群集合上的作用

设 $H \leq G$ ，令

$Σ = {a H a^{- 1} ∣ a \in G}$

为 $H$ 的所有共轭子群构成的集合，定义 $f : G \to S (Σ)$ ：

$f (g) (a H a^{- 1}) = def g a H (g a)^{- 1} = g a H a^{- 1} g^{- 1}$

证明 $f$ 是单满射：

对任意 $b H b^{- 1} \in Σ$ ，取 $g = b a^{- 1}$ ，则 $f (g) (a H a^{- 1}) = b H b^{- 1}$ ，故 $f$ 是满射。若 $g a H a^{- 1} g^{- 1} = g b H b^{- 1} g^{- 1}$ ，则 $a H a^{- 1} = b H b^{- 1}$ ，故 $f$ 是单射。

证明 $f$ 是同态：

$f (g_{1} g_{2}) (a H a^{- 1}) = g_{1} g_{2} a H a^{- 1} g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$

$f (g_{1}) (f (g_{2}) (a H a^{- 1})) = g_{1} (g_{2} a H a^{- 1} g_{2}^{- 1}) g_{1}^{- 1} = g_{1} g_{2} a H a^{- 1} g_{2}^{- 1} g_{1}^{- 1}$

两者相等，故 $f$ 是同态。

给出 $ker (f)$ 的刻画：

$g \in ker (f) ⟺ g a H a^{- 1} g^{- 1} = a H a^{- 1}, \forall a \in G$

$⟺ a^{- 1} g a \in N_{G} (H), \forall a$

$⟺ g \in a N_{G} (H) a^{- 1}, \forall a$

$⟺ g \in ⋂_{a \in G} a N_{G} (H) a^{- 1}$

即 $ker (f)$ 是 $N_{G} (H)$ 的正规核心。

轨道（Orbit）

等价关系与轨道定义

设 $G$ 作用于集合 $Σ$ ，定义关系 $\sim$ ：对 $a, b \in Σ$ ，

$a \sim b ⟺ \exists g \in G, g \cdot a = b$

验证这是等价关系：

自反性： $e \cdot a = a$ ，故 $a \sim a$ 。
对称性： 若 $g \cdot a = b$ ，则 $g^{- 1} \cdot b = a$ ，故 $b \sim a$ 。
传递性： 若 $g \cdot a = b$ ， $h \cdot b = c$ ，则 $h g \cdot a = c$ ，故 $a \sim c$ 。

定义： $a$ 所在的等价类称为 $a$ 的轨道（Orbit），记作 $[a]$ 或 $Orb (a)$ ：

$Orb (a) = {g \cdot a ∣ g \in G}$

轨道中任意两个元素之间都有关系（互相可达）。

例一：抛物线族

背景： 平面上的二次曲线，一定是某个群在 $R^{2}$ 上作用的一个轨道。

考察 $y = x^{2}$ ，令 $(R, +)$ 作用在 $R^{2}$ 上，对任意 $a \in R$ ， $(x, y) \in R^{2}$ ，定义：

$a \cdot (x, y) = def (x + a, y + 2 a x + a^{2})$

验证是群作用：

① $0 \cdot (x, y) = (x, y)$ 。✓

② $(b + a) \cdot (x, y)$ 与 $b \cdot (a \cdot (x, y))$ ：

$(b + a) \cdot (x, y) = (x + b + a, y + 2 (a + b) x + (a + b)^{2})$

$b \cdot (a \cdot (x, y)) = b \cdot (x + a, y + 2 a x + a^{2}) = (x + a + b, y + 2 a x + a^{2} + 2 b (x + a) + b^{2})$

展开后两者相等。✓

计算轨道：

$Orb (0, 0) = {a \cdot (0, 0) ∣ a \in R} = {(a, a^{2}) ∣ a \in R}$

即抛物线 $y = x^{2}$ 。对一般点 $(c, d)$ ：令 $x = a + c$ ， $y = d + 2 a c + a^{2}$ ，则 $x^{2} - y = c^{2} - d$ ，故

$Orb (c, d) = {(x, y) ∣ y = x^{2} - (c^{2} - d)}$

是平移后的抛物线族，不同的 $c^{2} - d$ 值对应不同的轨道。

例二：双曲线族

令 $(R ∖ {0}, \cdot)$ 作用在 $R^{2}$ 上，对任意 $a \in R ∖ {0}$ ， $(x, y) \in R^{2}$ ，定义：

$a \cdot (x, y) = def (a x, a^{- 1} y)$

验证是群作用：

① $1 \cdot (x, y) = (x, y)$ 。✓

② $(ba) \cdot (x, y) = (ba x, \frac{1}{ba} y)$ ； $b \cdot (a \cdot (x, y)) = b \cdot (a x, \frac{y}{a}) = (ba x, \frac{y}{ba})$ 。两者相等。✓

计算轨道：

$Orb (1, 1) = {(a, \frac{1}{a}) ∣ a \in R^{*}}$

即双曲线 $x y = 1$ 。

一些特殊点的轨道：

$Orb (0, 0) = (0, 0)$ （原点单独成轨道）
$c \neq = 0$ ： $Orb (c, 0) = {(a c, 0) ∣ a \in R^{*}} = x$ 轴 $∖ (0, 0)$
$d \neq = 0$ ： $Orb (0, d) = {(0, \frac{d}{a}) ∣ a \in R^{*}} = y$ 轴 $∖ (0, 0)$

稳定子群（Stabilizer）

设 $G$ 作用于 $Σ$ ， $a \in Σ$ ，定义 $a$ 的固定/稳定子群：

$G_{a} = def {g \in G ∣ g \cdot a = a}$

验证 $G_{a} \leq G$ ：

单位元： $e \cdot a = a$ ，故 $e \in G_{a}$ 。✓
封闭性：若 $g, h \in G_{a}$ ，则 $g h \cdot a = g (h \cdot a) = g \cdot a = a$ 。✓
逆元：若 $g \cdot a = a$ ，则 $g^{- 1} \cdot a = g^{- 1} \cdot (g \cdot a) = a$ 。✓

故 $Stab (a) = G_{a} \leq G$

轨道-稳定子定理

定理： 设有限群 $G$ 作用于 $Σ$ ，则对任意 $a \in Σ$ ：

$∣ G ∣ = ∣ Stab (a) ∣ \cdot ∣ Orb (a) ∣$

证明：

设 $Orb (a) = {a_{1}, \dots, a_{n}}$ ，对每个 $a_{i}$ 取 $g_{i} \in G$ 使得 $g_{i} \cdot a = a_{i}$ 。

关键引理： $g \cdot a = g^{'} \cdot a ⟺ g^{' - 1} g \in Stab (a) ⟺ g \in g^{'} Stab (a)$ 。

因此，使得 $g \cdot a = a_{i}$ 的所有 $g$ 恰好构成陪集 $g_{i} Stab (a)$ ， $n$ 个陪集不相交，故：

$G = g_{1} Stab (a) ⊔ \dots ⊔ g_{n} Stab (a)$

$∣ G ∣ = n \cdot ∣ Stab (a) ∣ = ∣ Orb (a) ∣ \cdot ∣ Stab (a) ∣ ■$

轨道分解与不动点

轨道分解

设 $∣ G ∣ < \infty$ ， $∣Σ∣ < \infty$ ， $Σ$ 分解为轨道的不相交并：

$Σ = ⨆_{i = 1}^{r} Orb (a_{i}), ∣Σ∣ = \sum_{i = 1}^{r} ∣ Orb (a_{i}) ∣$

不动点集

定义不动点集（轨道长度为 1 的元素的集合）：

$Σ_{G} = {a \in Σ ∣ Orb (a) = a}$

$p$ -群定理

定理： 设 $∣ G ∣ = p^{n}$ （ $p$ 为素数）， $G$ 作用于有限集 $Σ$ ，则：

$∣Σ∣ \equiv ∣ Σ_{G} ∣ (mod p)$

证明：

将轨道长度 $\geq 2$ 的轨道单独列出：

$∣Σ∣ = ∣ Σ_{G} ∣ + \sum_{i = 1}^{s} ∣ Orb (a_{i}) ∣, ∣ Orb (a_{i}) ∣ \geq 2$

由轨道-稳定子定理， $∣ Orb (a_{i}) ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab ( a _{i} ) ∣}$ 是 $p$ 的幂次（ $\geq p$ ），故 $p ∣ ∣ Orb (a_{i}) ∣$ ，从而：

$∣Σ∣ \equiv ∣ Σ_{G} ∣ (mod p) ■$

Cauchy 定理

定理（Cauchy）： 设 $G$ 为有限群， $p$ 为素数，若 $p ∣ ∣ G ∣$ ，则 $G$ 中存在 $p$ 阶元（即 $G$ 有一个 $p$ 阶循环子群）。

特例： 若 $∣ G ∣$ 为偶数，则 $G$ 中存在 $2$ 阶元（即存在 $α \neq = e$ 使得 $α^{2} = 1$ ）。

证明

第一步：构造集合 $Σ$ 。

$Σ = def {(g_{0}, g_{1}, \dots, g_{p - 1}) ∣ g_{i} \in G, g_{0} g_{1} \dots g_{p - 1} = 1}$

前 $p - 1$ 个元素可任意选取， $g_{p - 1}$ 由前面唯一确定，故 $∣Σ∣ = ∣ G ∣^{p - 1}$ 。由 $p ∣ ∣ G ∣$ ，得 $p ∣ ∣Σ∣$

第二步：定义 $Z_{p}$ 在 $Σ$ 上的循环移位作用。

对 $k \in Z_{p}$ ，定义：

$k \cdot (g_{0}, g_{1}, \dots, g_{p - 1}) = def (g_{k mod p}, g_{(k + 1) mod p}, \dots, g_{(k + p - 1) mod p})$

验证是群作用：

① $0 \cdot (g_{0}, \dots, g_{p - 1}) = (g_{0}, \dots, g_{p - 1})$ 。✓

② $(t + k) \cdot (g_{0}, \dots, g_{p - 1}) = t \cdot (k \cdot (g_{0}, \dots, g_{p - 1}))$ （均为循环左移的复合）。✓

还需验证移位后乘积仍为 $1$ ：若 $g_{0} g_{1} \dots g_{p - 1} = 1$ ，则将 $g_{0}$ 移到末尾后， $g_{1} g_{2} \dots g_{p - 1} g_{0} = g_{0}^{- 1} (g_{0} g_{1} \dots g_{p - 1}) g_{0} = 1$ ，故封闭性成立。✓

第三步：利用 $p$ -群定理。

$∣ Z_{p} ∣ = p$ ，由 $p$ -群定理：

$∣Σ∣ \equiv ∣ Σ_{Z_{p}} ∣ (mod p)$

由于 $p ∣ ∣Σ∣$ ，故 $p ∣ ∣ Σ_{Z_{p}} ∣$ 。

第四步：刻画不动点。

$(g_{0}, \dots, g_{p - 1}) \in Σ_{Z_{p}}$ 当且仅当循环移位后不变，即

$g_{0} = g_{1} = \dots = g_{p - 1} = a$

且 $a^{p} = 1$ （由乘积条件）。

$(1, 1, \dots, 1) \in Σ_{Z_{p}}$ ，故 $∣ Σ_{Z_{p}} ∣ \geq 1$ 。又 $p ∣ ∣ Σ_{Z_{p}} ∣$ ，故 $∣ Σ_{Z_{p}} ∣ \geq p \geq 2$ 。

因此，除 $(1, 1, \dots, 1)$ 外，至少存在一个 $(a, a, \dots, a) \in Σ_{Z_{p}}$ 且 $a \neq = 1$ ，满足 $a^{p} = 1$ 。

这样的 $a$ 即为 $G$ 中的 $p$ 阶元。 $■$

Lec 06

Sylow 定理

预备设置

设 $∣ G ∣ = m p^{n}$ ，其中 $p$ 为素数， $p ∤ m$ 。

第一 Sylow 定理

定理（第一 Sylow 定理）： 若 $p^{n} ∣ ∣ G ∣$ ，则 $G$ 中存在阶为 $p^{n}$ 的子群（称为 Sylow $p$ -子群）。

证明

第一步：构造集合 $S$ 。

令

$S = def {s \subset G ∣ ∣ s ∣ = p^{n}}$

即 $G$ 的所有大小为 $p^{n}$ 的子集构成的集合。定义 $G$ 在 $S$ 上的左乘作用：

$g \cdot s = def g s = {g a ∣ a \in s}$

验证 $g_{1} g_{2} \cdot s = g_{1} \cdot (g_{2} s)$ 成立，故这是合法的群作用。

第二步：计算 $∣ S ∣$ ，并证明 $p ∤ ∣ S ∣$ 。

$∣ S ∣ = (p ^{n} m p ^{n}) = \frac{m p ^{n} ( m p ^{n} - 1 ) \dots ( m p ^{n} - p ^{n} + 1 )}{p ^{n} ( p ^{n} - 1 ) \dots 1}$

对分子分母的第 $i$ 项（ $0 \leq i \leq p^{n} - 1$ ），写 $i = s p^{t}$ （其中 $p ∤ s$ ），则：

分子第 $i$ 项： $m p^{n} - i = m p^{n} - s p^{t} = p^{t} (m p^{n - t} - s)$ ， $p$ 的幂次恰为 $t$ 。
分母第 $i$ 项： $p^{n} - i = p^{n} - s p^{t} = p^{t} (p^{n - t} - s)$ ， $p$ 的幂次同样恰为 $t$ 。

因此分子与分母中 $p$ 的幂次逐项抵消，故 $p ∤ ∣ S ∣$ 。

第三步：找到基数不被 $p$ 整除的轨道。

由轨道分解：

$∣ S ∣ = \sum_{i} ∣ Orb_{i} ∣$

由于 $p ∤ ∣ S ∣$ ，必存在某个轨道 $C$ ，使得 $p ∤ ∣ C ∣$ 。

第四步：证明稳定子群的阶 $\geq p^{n}$ 。

取 $s \in C$ ，令 $H = Stab (s) = g \in G ∣ g s = s$ 。由轨道-稳定子定理：

$∣ C ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ H ∣} = \frac{m p ^{n}}{∣ H ∣}$

由于 $p ∤ ∣ C ∣$ ，而 $∣ G ∣ = m p^{n}$ ，故 $p^{n} ∣ ∣ H ∣$ ，从而 $∣ H ∣ \geq p^{n}$ 。

第五步：证明 $∣ H ∣ \leq p^{n}$ 。

取任意固定元素 $g \in s$ 。对任意 $h \in H$ ，由 $h s = s$ 知 $h g \in s$ ，故整个左陪集

$H g = {h g ∣ h \in H} \subseteq s$

由于 $∣ H g ∣ = ∣ H ∣$ （左陪集与子群等势），而 $H g \subseteq s$ 且 $∣ s ∣ = p^{n}$ ，故 $∣ H ∣ \leq p^{n}$ 。

综合： 由第四步 $∣ H ∣ \geq p^{n}$ ，第五步 $∣ H ∣ \leq p^{n}$ ，故 $∣ H ∣ = p^{n}$ ， $H$ 是 $G$ 的 Sylow $p$ -子群。 $■$

第二 Sylow 定理

定理（第二 Sylow 定理）： 设 $∣ G ∣ = m p^{n}$ ，则 $G$ 的所有 Sylow $p$ -子群彼此共轭。

证明思路

设 $H$ 为一个 Sylow $p$ -子群（ $∣ H ∣ = p^{n}$ ），令

$S = {g_{1} H, g_{2} H, \dots, g_{m} H}$

为 $H$ 在 $G$ 中所有左陪集构成的集合（ $∣ S ∣ = m$ ），定义 $G$ 在 $S$ 上的左乘作用：

$g \cdot g_{i} H = def g g_{i} H$

计算稳定子：

$Stab (g_{i} H) = {g \in G ∣ g g_{i} H = g_{i} H} = g_{i} H g_{i}^{- 1}$

验证： $g \in Stab (g_{i} H) ⟺ g g_{i} H = g_{i} H ⟺ g_{i}^{- 1} g g_{i} \in H ⟺ g \in g_{i} H g_{i}^{- 1}$ 。

故 $∣ Stab (g_{i} H) ∣ = ∣ g_{i} H g_{i}^{- 1} ∣ = ∣ H ∣ = p^{n}$ ，由轨道-稳定子定理， $g_{i} H$ 所在轨道大小为

$\frac{∣ G ∣}{∣ Stab ( g _{i} H ) ∣} = \frac{m p ^{n}}{p ^{n}} = m = ∣ S ∣$

即整个 $S$ 恰好构成一个单一的 $G$ -轨道（ $G$ 在左陪集集合 $S$ 上的作用是可迁的）。

证明任意 Sylow $p$ -子群 $H^{'}$ 与 $H$ 共轭：

令 $H^{'}$ 在 $S$ 上作用（限制 $G$ 的作用到 $H^{'}$ ）， $∣ H^{'} ∣ = p^{n}$ 。

将 $S$ 按 $H^{'}$ -轨道分解：

$m = ∣ S ∣ = \sum_{轨道} ∣ H^{'} - 轨道 ∣$

每个 $H^{'}$ -轨道基数整除 $∣ H^{'} ∣ = p^{n}$ ，故每个轨道基数为 $p^{n_{0}}$ （ $0 \leq n_{0} \leq n$ ）。

由于 $p ∤ m$ ，故至少存在一个 $H^{'}$ -轨道基数为 $1$ ，即存在 $g_{i} H \in S$ 使得 $H^{'} \cdot g_{i} H = g_{i} H$ ，即：

$h^{'} g_{i} H = g_{i} H, \forall h^{'} \in H^{'}$

这等价于 $g_{i}^{- 1} H^{'} g_{i} \subseteq H$ 。由于 $∣ g_{i}^{- 1} H^{'} g_{i} ∣ = p^{n} = ∣ H ∣$ ，故：

$g_{i}^{- 1} H^{'} g_{i} = H ⟹ H^{'} = g_{i} H g_{i}^{- 1}$

即 $H^{'}$ 是 $H$ 的一个共轭子群。 $■$

第三 Sylow 定理

定理（第三 Sylow 定理）： 设 $∣ G ∣ = m p^{n}$ ，令 $r$ 为 Sylow $p$ -子群的个数，则：

$r ∣ m$
$r \equiv 1 (mod p)$

证明

设 $H$ 为一个 Sylow $p$ -子群，由第二 Sylow 定理，所有 Sylow $p$ -子群构成 $H$ 的一个完整共轭类：

$T = {g H g^{- 1} ∣ g \in G}, r = ∣ T ∣$

证明 $r ∣ m$ ：

$G$ 通过共轭作用于 $T$ ， $T$ 是一个轨道。由轨道-稳定子定理：

$r = ∣ T ∣ = \frac{∣ G ∣}{∣ Stab ( H ) ∣} = \frac{m p ^{n}}{∣ N _{G} ( H ) ∣}$

其中 $Stab (H) = N_{G} (H)$ （ $H$ 的正规化子）。由于 $H ⊴ N_{G} (H)$ 且 $H \leq N_{G} (H)$ ，故 $p^{n} ∣ ∣ N_{G} (H) ∣$ ，设 $∣ N_{G} (H) ∣ = p^{n} \cdot d$ （ $d \geq 1$ ），则

$r = \frac{m p ^{n}}{p ^{n} \cdot d} = \frac{m}{d}$

故 $r ∣ m$ 。

证明 $r \equiv 1 (mod p)$ ：

令 $H$ 通过共轭作用于 $T$ ： $h \cdot Q = h Q h^{- 1}$ （ $Q \in T$ ， $h \in H$ ）。

将 $T$ 按 $H$ -轨道分解，每个轨道大小整除 $∣ H ∣ = p^{n}$ ，故每个轨道大小为 $p$ 的幂次，从而

$r = ∣ T ∣ \equiv ∣ Σ_{H} ∣ (mod p)$

其中 $Σ_{H} = Q \in T ∣ h Q h^{- 1} = Q, \forall h \in H$ 为 $H$ 的不动点集。

确定不动点： $Q \in T$ 是 $H$ -不动点，即 $h Q h^{- 1} = Q$ 对所有 $h \in H$ 成立，等价于 $H \leq N_{G} (Q)$ 。

由于 $Q$ 和 $H$ 都是 Sylow $p$ -子群， $∣ Q ∣ = ∣ H ∣ = p^{n}$ 。在 $N_{G} (Q)$ 中， $Q$ 是正规子群， $H$ 也是 $N_{G} (Q)$ 的子群（ $H \leq N_{G} (Q)$ ），且两者阶相同。

由第一 Sylow 定理在 $N_{G} (Q)$ 中的应用， $H$ 与 $Q$ 在 $N_{G} (Q)$ 中共轭，即存在 $x \in N_{G} (Q)$ 使得 $H = x Q x^{- 1}$ 。但 $Q ⊴ N_{G} (Q)$ ，故 $x Q x^{- 1} = Q$ ，从而 $H = Q$ 。

因此 $T$ 中唯一的 $H$ -不动点就是 $H$ 本身， $∣ Σ_{H} ∣ = 1$ ，故

$r \equiv 1 (mod p) ■$

Sylow 定理的应用

例一：148 阶群不是单群

$148 = 37 \times 2^{2}$ ，取 $p = 37$ ， $m = 4$ 。

令 $r$ 为 Sylow $37$ -子群的个数，由第三 Sylow 定理：

$r ∣ 4$ ，故 $r \in {1, 2, 4}$
$r \equiv 1 (mod 37)$

结合两条，仅有 $r = 1$ 满足。唯一的 Sylow $37$ -子群 $H$ 满足 $g H g^{- 1} = H$ 对所有 $g \in G$ ，即 $H ⊴ G$ ，且 $H \neq = e$ ， $H \neq = G$ ，故 $G$ 不是单群。 $■$

例二：56 阶群不是单群

$56 = 7 \times 2^{3}$ ，取 $p = 7$ ， $m = 8$ 。

令 $r$ 为 Sylow $7$ -子群的个数，由第三 Sylow 定理：

$r ∣ 8$ ，故 $r \in 1, 2, 4, 8$
$r \equiv 1 (mod 7)$

满足条件的有 $r = 1$ 或 $r = 8$ 。

情形一： $r = 1$ 。 唯一的 Sylow $7$ -子群是正规子群， $G$ 不是单群。

情形二： $r = 8$ 。 有 8 个不同的 Sylow $7$ -子群，每个阶为 $7$ （素数阶群必为循环群），任意两个不同的 Sylow $7$ -子群相交仅含单位元。

为什么两个不同的阶为 $7$ 的子群交只含单位元？ 设 $P_{1} \neq = P_{2}$ 都是阶为 $7$ 的子群，则 $P_{1} \cap P_{2}$ 是 $P_{1}$ 的子群，其阶整除 $7$ （素数），故 $∣ P_{1} \cap P_{2} ∣ = 1$ 或 $7$ 。若等于 $7$ 则 $P_{1} = P_{2}$ ，矛盾，故只含单位元。

因此 $8$ 个子群共贡献

$8 \times (7 - 1) = 48 个阶为 7 的元素（各子群中去掉单位元）$

加上单位元，共 $49$ 个元素已被”占用”，剩余 $56 - 49 = 7$ 个元素。

再令 $r^{'}$ 为 Sylow $2$ -子群（阶为 $2^{3} = 8$ ）的个数，由第三 Sylow 定理：

$r^{'} ∣ 7$ ，故 $r^{'} \in 1, 7$
$r^{'} \equiv 1 (mod 2)$ ，故 $r^{'}$ 为奇数， $r^{'} \in 1, 7$

若 $r^{'} = 7$ ，则需要至少 $7 \times 8 - (重叠) \geq 8$ 个元素给 Sylow $2$ -子群，但剩余元素（含单位元）只有 $56 - 48 = 8$ 个，恰好构成唯一一个阶为 $8$ 的子集，故只能有 $r^{'} = 1$ 。

唯一的 Sylow $2$ -子群 $K$ （ $∣ K ∣ = 8$ ）满足 $g K g^{- 1} = K$ 对所有 $g \in G$ ，即 $K ⊴ G$ ， $G$ 不是单群。

综上，56 阶群不是单群。 $■$

群的直积

定义

设 $G_{1}, G_{2}, \dots, G_{n}$ 为群，定义直积：

$\prod_{i = 1}^{n} G_{i} = G_{1} \times G_{2} \times \dots \times G_{n}$

元素为有序 $n$ 元组 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ （ $a_{i} \in G_{i}$ ），群运算定义为分量逐项相乘：

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}) = def (a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}, \dots, a_{n} b_{n}), b_{i} \in G_{i}$

单位元为 $(1, 1, \dots, 1)$ ，逆元为 $(a_{1}, \dots, a_{n})^{- 1} = (a_{1}^{- 1}, \dots, a_{n}^{- 1})$ 。

阿贝尔群的直和

当各 $G_{i}$ 均为阿贝尔群时，直积也常记作直和：

$G_{1} \oplus G_{2} \oplus \dots \oplus G_{n}$

例： $Z_{2} \oplus Z_{3} ≅ Z_{6}$

$Z_{2} \oplus Z_{3}$ 的阶为 $6$ ，其运算为分量相加（模各自的模数）。验证生成元 $(1, 1)$ 的阶：

$k$	$k (1, 1)$
$1$	$(1, 1)$
$2$	$(0, 2)$
$3$	$(1, 0)$
$4$	$(0, 1)$
$5$	$(1, 2)$
$6$	$(0, 0)$

$(1, 1)$ 的阶为 $6 = ∣ Z_{2} \oplus Z_{3} ∣$ ，故 $Z_{2} \oplus Z_{3} = ⟨(1, 1)⟩ ≅ Z_{6}$ 。

一般定理： $Z_{m} \oplus Z_{n} ≅ Z_{mn}$ 当且仅当 $g cd (m, n) = 1$ 。

直觉： 当 $g cd (m, n) = 1$ 时， $(1, 1)$ 的阶恰为 $lcm (m, n) = mn$ ，足以生成整个群。当 $g cd (m, n) > 1$ 时，任意元素 $(a, b)$ 的阶整除 $lcm (m, n) < mn$ ，故群中无 $mn$ 阶元，不是循环群。

注意： $Z_{3} \oplus Z_{3} \neq ≅ Z_{9}$ 。 $Z_{3} \oplus Z_{3}$ 中每个非单位元的阶均为 $3$ （因为 $3 (a, b) = (3 a mod 3, 3 b mod 3) = (0, 0)$ ），而 $Z_{9}$ 中存在阶为 $9$ 的元素（生成元 $1$ ），两者不同构。

有限阿贝尔群结构定理

定理： 任何有限阿贝尔群都同构于若干素数幂阶循环群的直和，且在不计直和因子顺序的意义下，该分解唯一。

具体地，设 $∣ G ∣ = n = p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} \dots p_{m}^{k_{m}}$ （素因子分解， $p_{i}$ 两两不同），则对每个素数 $p_{i}$ ，将指数 $k_{i}$ 写成一个递减正整数分拆：

$k_{i} = a_{i 1} + a_{i 2} + \dots + a_{i t_{i}}, a_{i 1} \geq a_{i 2} \geq \dots \geq a_{i t_{i}} \geq 1$

则

$G ≅ ⨁_{i = 1}^{m} ⨁_{j = 1}^{t_{i}} Z_{p_{i}^{a_{ij}}}$

为什么要求递减？ 不同的分拆对应不同的同构类型，递减排列只是为了规范化表示（去掉顺序的差异），使每个群对应唯一的分拆。

$p_{i}$ 的初等因子组（elementary divisors）为该素数对应的所有幂次：

$(p_{i}^{a_{i 1}}, p_{i}^{a_{i 2}}, \dots, p_{i}^{a_{i t_{i}}})$

全体初等因子组（所有素数合在一起，不计顺序）唯一确定 $G$ 的同构类型：不同的初等因子组对应不同构的有限阿贝尔群。

有限阿贝尔群的分类例子

例一： $∣ G ∣ = 8$ 的阿贝尔群

$8 = 2^{3}$ ，只有一个素数 $p = 2$ ，指数为 $3$ 。对 $3$ 做所有递减正整数分拆：

分拆	对应直和	说明
$3$	$Z_{8}$	循环群，有 $8$ 阶元
$2 + 1$	$Z_{4} \oplus Z_{2}$	最大元素阶为 $4$
$1 + 1 + 1$	$Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{2}$	所有非单位元阶均为 $2$

共 3 种不同构的 $8$ 阶阿贝尔群。

注意 $8$ 阶群共有 5 种（含非阿贝尔的 $D_{4}$ 和四元数群 $Q_{8}$ ），上面只列出了 $3$ 种阿贝尔的。

例二： $∣ G ∣ = 36$ 的阿贝尔群

$36 = 2^{2} \times 3^{2}$ ，两个素数各自独立分拆再组合。

$2^{2}$ 的分拆（对指数 $2$ ）： $2 = 2$ 或 $1 + 1$ ，对应 $Z_{4}$ 或 $Z_{2} \oplus Z_{2}$ 。

$3^{2}$ 的分拆（对指数 $2$ ）： $2 = 2$ 或 $1 + 1$ ，对应 $Z_{9}$ 或 $Z_{3} \oplus Z_{3}$ 。

两两组合，共 $2 \times 2 = 4$ 种：

$2$ 的分拆	$3$ 的分拆	同构类型
$2$	$2$	$Z_{4} \oplus Z_{9} ≅ Z_{36}$
$2$	$1 + 1$	$Z_{4} \oplus Z_{3} \oplus Z_{3}$
$1 + 1$	$2$	$Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{9} ≅ Z_{2} \oplus Z_{18}$
$1 + 1$	$1 + 1$	$Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{3} \oplus Z_{3} ≅ Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{3} \oplus Z_{3}$

共 4 种不同构的 $36$ 阶阿贝尔群。

其中 $Z_{4} \oplus Z_{9} ≅ Z_{36}$ 因为 $g cd (4, 9) = 1$ ； $Z_{2} \oplus Z_{9} ≅ Z_{18}$ 因为 $g cd (2, 9) = 1$ ，故第三行可以写成 $Z_{2} \oplus Z_{18}$ 。第四行的 $Z_{2} \oplus Z_{2} \oplus Z_{3} \oplus Z_{3}$ ，注意 $Z_{2} \oplus Z_{3} ≅ Z_{6}$ ，但 $Z_{2} \oplus Z_{2}$ 和 $Z_{3} \oplus Z_{3}$ 不能进一步合并（ $g cd (2, 2) \neq = 1$ ， $g cd (3, 3) \neq = 1$ ）。

Lec 07

环、域

环的定义

定义： 非空集合 $R$ 连同两个二元运算 $+$ 、 $\cdot$ ： $R \times R \to R$ 称为环，如果以下满足：

$(R, +)$ 是阿贝尔群
乘法结合律： $\forall α, β, γ \in R$ ， $(α β) γ = α (β γ)$
分配律： $α (β + γ) = α β + α γ$ $(β + γ) α = β α + γ α$

Comments

加法幺元为 $0$ （由阿贝尔群保证）
如果存在 $e \in R$ ，使得 $\forall α \in R$ ， $e α = α e = α$ ，则称 $R$ 为含 1 环， $e$ 即乘法幺元 $1$
如果乘法满足交换律，即 $\forall α, β \in R$ ， $α β = β α$ ，则称为交换环
$(Z, +, \cdot)$ 是含 1 交换环，幺元为 $1$

例子

不是含 1 环： $(2 Z, +, \cdot)$ ，即全体偶数关于普通加法和乘法构成的代数系统。

注意：这里”不是环”指的是在含 1 环的定义下不满足，因为 $2 Z$ 中不存在乘法幺元（ $1 \in / 2 Z$ ）。在不要求幺元的宽松环定义下， $(2 Z, +, \cdot)$ 实际上是一个环。

是含 1 环： $(Z_{n}, +, \cdot)$ ，验证分配律如下：

$\overline{α} (\overline{β} + \overline{γ}) = \overline{α} \cdot \overline{β + γ} = \overline{α (β + γ)} = \overline{α β + α γ} = \overline{α β} + \overline{α γ} = \overline{α} \overline{β} + \overline{α} \overline{γ}$

其中第一步利用了陪集加法定义，第二步利用了陪集乘法定义，第三步用整数的分配律，最后再还原成陪集加法。

一些基本定理推导

定理 1： $\forall α \in R$ ， $0 \cdot α = α \cdot 0 = 0$

证明： $(0 + 0) α = 0 α + 0 α = 0 α$ ，两边消去 $0 α$ （加法逆元存在）得 $0 α = 0$ 。右侧类似。

定理 2： $\forall α, β \in R$ ， $(- α) β = α (- β) = - (α β)$

证明： $(- α) β + α β = (- α + α) β = 0 \cdot β = 0$ ，故 $(- α) β$ 是 $α β$ 的加法逆元，即 $(- α) β = - (α β)$ 。 $α (- β)$ 同理。

定理 3： 分配律推广（有限求和版本）

$(\sum_{i = 1}^{n} α_{i}) β = \sum_{i = 1}^{n} α_{i} β, α (\sum_{j = 1}^{m} β_{j}) = \sum_{j = 1}^{m} α β_{j}$

两式合并得乘积展开：

$(\sum_{i = 1}^{n} α_{i}) (\sum_{j = 1}^{m} β_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} α_{i} β_{j}$

定理 4： $n α$ 记 $n$ 个 $α$ 相加（ $n \in Z$ ），则

$(n α) β = α (n β) = n (α β)$

以 $n > 0$ 为例： $(n α) β = (α + \dots + α) β = α β + \dots + α β = n (α β)$ ，利用定理 3。 $n < 0$ 时结合定理 2 类似可得。

环中的单位与可逆性

前提条件

以下讨论均设 $(R, +, \cdot)$ 是含 1 环。

左/右可逆的定义

右可逆 (Right Invertible)： 若存在 $β \in R$ ，使得 $α \cdot β = 1$ ，则称 $α$ 是右可逆的， $β$ 称为 $α$ 的一个右逆元。

左可逆 (Left Invertible)： 若存在 $γ \in R$ ，使得 $γ \cdot α = 1$ ，则称 $α$ 是左可逆的， $γ$ 称为 $α$ 的一个左逆元。

可逆元/单位 (Unit)

定义： 若 $α$ 既有左逆元又有右逆元，则称 $α$ 为环 $R$ 的一个单位 (Unit) 或可逆元。

逆元唯一性推导： 设 $γ α = 1$ （左逆）， $α β = 1$ （右逆），则：

$γ = γ \cdot 1 = γ (α β) = (γ α) β = 1 \cdot β = β$

故左逆等于右逆。结论： 可逆元的逆元唯一，记作 $α^{- 1}$ 。

术语区分（易错点）

单位元 (Identity)： 环中唯一的乘法幺元 $1$ ，满足 $1 \cdot α = α \cdot 1 = α$ 。
单位 (Unit)： 环中所有可逆元的统称。例如在 $Z$ 中，单位只有 $1$ 和 $- 1$ ；在 $Q$ 中，所有非零元素都是单位。

Comments

若 $u$ 是单位（既有左逆又有右逆），则其左逆与右逆必相同（见上面的唯一性推导）。
若 $R$ 是交换环，则左逆 = 右逆（由乘法交换律直接得到）。
在非交换环中， $u$ 有可能有两个不同的左逆。例如在无穷维线性空间的线性算子环中，右移算子有多个左逆，但本身不是单位。

零因子

定义：

左零因子： $α \neq = 0$ ，且存在 $β \neq = 0$ ，使得 $α β = 0$ ，则称 $α$ 为左零因子。
右零因子： $α \neq = 0$ ，且存在 $γ \neq = 0$ ，使得 $γ α = 0$ ，则称 $α$ 为右零因子。
若 $α$ 既是左零因子又是右零因子，则称 $α$ 为零因子。
若 $R$ 为交换环，左右零因子概念一致，统称为零因子。

例子： 在 $(Z_{6}, +, \cdot)$ 中， $\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{6} = \overline{0}$ ，故 $\overline{2}$ 和 $\overline{3}$ 都是零因子。

对比：在 $(Z, +, \cdot)$ 中， $2$ 不是零因子，因为不存在非零整数 $n$ 使得 $2 n = 0$ 。

整环与域

整环的定义

定义： 若 $R$ 是含 $1$ 的交换环，且无零因子（即 $α β = 0 \Rightarrow α = 0$ 或 $β = 0$ ），则称 $R$ 为整环 (integral domain)。

$R = {0}$ 称为零环，通常约定零环不是整环（要求 $1 \neq = 0$ ）。

域的定义

定义： 设 $(R, +, \cdot)$ 是含 $1$ 的交换环，令 $R^{*} = R ∖ {0}$ ，若 $(R^{*}, \cdot)$ 构成群（即每个非零元都可逆），则称 $R$ 为域 (field)，记作 $F$ 。

域一定是整环：若 $α β = 0$ 且 $α \neq = 0$ ，则 $α$ 可逆，两边左乘 $α^{- 1}$ 得 $β = 0$ 。

$U (R)$ 的定义

$U (R)$ 表示 $R$ 中所有单位（可逆元）构成的集合，关于乘法 $\cdot$ 构成群。

验证群的四条公理：

封闭性： 若 $u, v \in U (R)$ ，则 $(uv)^{- 1} = v^{- 1} u^{- 1}$ 存在，故 $uv \in U (R)$ 。
幺元： $1 \in U (R)$ （ $1$ 本身可逆， $1^{- 1} = 1$ ）。
逆元： $u \in U (R)$ 则 $u^{- 1} \in U (R)$ （因为 $(u^{- 1})^{- 1} = u$ ）。
结合律： 由环本身的乘法结合律继承。

例子

$U (Z) = {1, - 1}$
$Z [i] = {a + bi ∣ a, b \in Z}$ （高斯整数环）， $i = - 1$

例子： $U (Z_{n})$

$U (Z_{n}) = Z_{n}^{*} = {\overline{a} \in Z_{n} ∣ \exists b, ab \equiv 1 (mod n)} = {\overline{a} \in Z_{n} ∣ g cd (a, n) = 1}$

$∣ U (Z_{n}) ∣ = φ (n)$ （Euler 函数）

这是因为 $\overline{a}$ 在 $Z_{n}$ 中可逆当且仅当 $a$ 与 $n$ 互素，此时由 Bézout 定理存在整数 $b$ 使得 $ab + kn = 1$ ，即 $ab \equiv 1 (mod n)$ 。

经典的域：有理数域与 $Z_{p}$

$(Z_{p}, +, \cdot)$ ， $p$ 为素数，是一个域。原因：

$Z_{p}^{*} = {\overline{a} \in Z_{p} ∣ g cd (a, p) = 1} = {\overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{p - 1}} = Z_{p} ∖ {\overline{0}}$

因为 $p$ 是素数， $1 \leq a \leq p - 1$ 时均有 $g cd (a, p) = 1$ ，故所有非零元可逆，即 $Z_{p}$ 是域。

复数相关的域的例子

$Q (i) = {a + bi ∣ a, b \in Q}$

验证 $Q (i)$ 是域：设 $α = a + bi \neq = 0$ （即 $a, b$ 不全为零，故 $a^{2} + b^{2} > 0$ ），构造其乘法逆元：

$(a + bi) (a - bi) = a^{2} + b^{2}$

$(a + bi) \cdot \frac{a - bi}{a ^{2} + b ^{2}} = 1$

故 $(a + bi)^{- 1} = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}} - \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}} i \in Q (i)$ （因为 $a, b \in Q$ ， $a^{2} + b^{2} \in Q^{*}$ ），所以每个非零元可逆， $Q (i)$ 是域。

环同态

定义

定义： $f : R \to S$ 称为环同态，如果 $\forall α, β \in R$ ：

$f (α + β) = f (α) + f (β)$

$f (α β) = f (α) f (β)$

Comments

$f (0_{R}) = 0_{S}$ （由加法群同态得）， $f (- α) = - f (α)$
若 $f$ 是单射，称 $f$ 为单同态（嵌入）；若 $f$ 是满射，称 $f$ 为满同态；若 $f$ 是双射，称 $f$ 为同构。

性质

性质 3： 若 $R$ 、 $S$ 均含 $1$ ，且 $f$ 是满同态，则 $f (1_{R}) = 1_{S}$ 。

证明： $\forall s \in S$ ，因 $f$ 满，存在 $r \in R$ 使 $f (r) = s$ 。则 $f (1_{R}) \cdot s = f (1_{R}) \cdot f (r) = f (1_{R} \cdot r) = f (r) = s$ ，故 $f (1_{R})$ 是 $S$ 的乘法幺元，即 $f (1_{R}) = 1_{S}$ 。

由此可得：若 $u \in U (R)$ ，则 $f (u) \in U (S)$ ，且 $f (u^{- 1}) = f (u)^{- 1}$ 。

证明： $f (u) \cdot f (u^{- 1}) = f (u \cdot u^{- 1}) = f (1_{R}) = 1_{S}$ ，故 $f (u^{- 1})$ 是 $f (u)$ 的右逆，类似可得左逆，故 $f (u^{- 1}) = f (u)^{- 1}$ 。

性质 4： $f (R) = {f (r) ∣ r \in R}$ 是 $S$ 的子环。

性质 5： 若 $f$ 是单射，则 $f$ 是 $R$ 到 $f (R)$ 的同构，称 $f$ 为嵌入，即 $R$ 同构嵌入 $S$ 中。

性质 6： 若 $f : R \to R$ 是双射且是环同态，则 $f$ 是 $R$ 的自同构 (automorphism)。

子环、子域、扩域

定义

设 $R$ 是环， $S \subseteq R$ ，若 $(S, +, \cdot)$ 本身也构成环，则称 $S$ 是 $R$ 的子环 (subring)。

设 $F$ 是域， $S \subseteq F$ ，若 $(S, +, \cdot)$ 本身也构成域，则称 $S$ 是 $F$ 的子域 (subfield)，记 $S < F$ ，此时 $F$ 称为 $S$ 的扩域 (extension field)，记 $F / S$ 。

例子

$Z$ 是 $Q$ 的子环（但不是子域，因为 $Z$ 中非零元不全可逆）
$Z$ 是 $Z [i]$ 的子环
域的扩张链： $Q < Q (i) < C$ 和 $Q < R < C$

环的特征

一般定义

定义： 设环 $R$ ，若存在正整数 $m > 0$ ，使得 $m \cdot r = 0$ 对所有 $r \in R$ 成立，则把满足此条件的最小正整数 $m$ 称为 $R$ 的特征 (characteristic)，记作 $char (R) = m$ ；若这样的 $m$ 不存在，则记 $char (R) = 0$ 。

这里 $m \cdot r$ 表示 $r$ 的 $m$ 次加法： $m 个 r + r + \dots + r$ 。

例： $char (Z) = 0$ ， $char (Z_{n}) = n$ 。

含 1 环的特征（等价刻画）

定义： 若 $R$ 含 $1$ ，只需考察使 $m \cdot 1 = 0$ 成立的最小正整数 $m$ ，即为 $char (R)$ 。

这与一般定义等价，因为 $m \cdot r = (m \cdot 1) \cdot r$ ，故只要 $m \cdot 1 = 0$ ，就有 $m \cdot r = 0$ 对所有 $r$ 成立。

定理：整环的特征必为素数或 0

定理： 若 $R$ 是整环且 $char (R) \neq = 0$ ，则 $char (R) = p$ 为素数。

证明： 设 $char (R) = m$ ，假设 $m$ 不是素数，则 $m = ab$ ， $1 < a, b < m$ 。于是：

$(a \cdot 1) (b \cdot 1) = ab \cdot 1 = m \cdot 1 = 0$

因 $R$ 无零因子，故 $a \cdot 1 = 0$ 或 $b \cdot 1 = 0$ ，这与 $m$ 是使 $m \cdot 1 = 0$ 的最小正整数矛盾。故 $m$ 必为素数。

推论： 域是整环，故域的特征也只能为 $0$ 或素数 $p$ 。

$char (F) = 0$ ：如 $Q$ 、 $R$ 、 $C$
$char (F) = p$ ：如 $Z_{p}$

Frobenius 恒等式

命题： 设 $R$ 是交换环， $char (R) = p$ （ $p$ 为素数），则 $\forall α, β \in R$ ：

$(α + β)^{p} = α^{p} + β^{p}$

证明： 用二项式定理展开（因 $R$ 交换，可用）：

$(α + β)^{p} = \sum_{i = 0}^{p} (i p) α^{i} β^{p - i} = α^{p} + β^{p} + \sum_{i = 1}^{p - 1} (i p) α^{i} β^{p - i}$

对 $1 \leq i \leq p - 1$ ， $(i p) = \frac{p !}{i ! ( p - i )!}$ ，分子含因子 $p$ ，而分母 $i! (p - i)!$ 中各因子均小于 $p$ （ $p$ 为素数故不被整除），从而 $p ∣ (i p)$ 。

因此 $(i p) \cdot α^{i} β^{p - i} = 0$ （在特征 $p$ 的环中），中间项全为零，得：

$(α + β)^{p} = α^{p} + β^{p}$

同理： $(α - β)^{p} = α^{p} - β^{p}$

用归纳法可推广至 $p$ 的幂次： $(α \pm β)^{p^{n}} = α^{p^{n}} \pm β^{p^{n}}, n \geq 1$

此映射 $φ : α \mapsto α^{p}$ 在特征 $p$ 域上是环同态，称为 Frobenius 自同态。

Lec08～10

1. 理想与商环

Def. 理想 ideal

设 $R$ 是环， $I \subseteq R$ 。若

$(I, +)$ 是 $(R, +)$ 的子群；
对任意 $r \in R, a \in I$ ，都有

r a \in I, a r \in I,

则称 $I$ 是 $R$ 的双边理想，记为 $I ⊲ R$ 。

如果 $R$ 是交换环，则左右吸收条件等价，写成

\forall r \in R, a \in I, r a \in I .

Example. $Z$ 中的理想

$(Z, +)$ 的所有子群都是

m Z = {mk ∣ k \in Z}, m \geq 0.

并且 $m Z$ 对整数乘法封闭吸收，因此 $Z$ 中所有理想都是 $m Z$ 。

Def. 商环

设 $I ⊲ R$ 。先把 $R / I$ 看作加法群商群：

R / I = {a + I ∣ a \in R} .

定义

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I,

(a + I) (b + I) = ab + I .

Thm. 商环乘法良定义

若 $I$ 是理想，则 $R / I$ 在上述加法、乘法下构成环。

Pf. 关键是乘法 well-defined

若

a + I = a^{'} + I, b + I = b^{'} + I,

则

a^{'} - a \in I, b^{'} - b \in I .

要证

a^{'} b^{'} - ab \in I .

计算：

a^{'} b^{'} - ab = (a + (a^{'} - a)) (b + (b^{'} - b)) - ab

= a (b^{'} - b) + (a^{'} - a) b + (a^{'} - a) (b^{'} - b) .

其中三项都属于 $I$ ，因为 $I$ 对左右乘法吸收，所以 $a^{'} b^{'} - ab \in I$ 。因此乘法与代表元无关。

注

商环的核心逻辑和商群一样：先用理想 $I$ 把元素“模掉”，再要求运算不依赖代表元。理想条件正是为了保证乘法良定义。

2. 环同态基本定理

Def. 环同态

映射 $f : R \to S$ 称为环同态，如果对任意 $a, b \in R$ ，

f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a) f (b) .

若 $R, S$ 含 $1$ ，有的教材还要求 $f (1_{R}) = 1_{S}$ ；本课程里常用结论是：如果 $f$ 是满同态，则自动有 $f (1_{R}) = 1_{S}$ 。

Def. 核与像

ker f = f^{- 1} (0) = {a \in R ∣ f (a) = 0},

Im f = f (R) = {f (a) ∣ a \in R} .

Prop. $ker f$ 是理想

Pf.

若 $a, b \in ker f$ ，则

f (a - b) = f (a) - f (b) = 0,

故 $a - b \in ker f$ 。

若 $r \in R, a \in ker f$ ，则

f (r a) = f (r) f (a) = f (r) 0 = 0,

f (a r) = f (a) f (r) = 0 f (r) = 0.

因此 $r a, a r \in ker f$ ，所以 $ker f ⊲ R$ 。

Thm. 环同态基本定理

若 $f : R \to S$ 是满环同态，则

R / ker f ≅ S .

同构映射为

φ : R / ker f \to S, φ (a + ker f) = f (a) .

Pf. 证明结构

良定义：若 $a + ker f = b + ker f$ ，则 $a - b \in ker f$ ，所以

f (a - b) = 0 \Rightarrow f (a) = f (b) .

同态：

φ ((a + ker f) + (b + ker f)) = f (a + b) = f (a) + f (b),

φ ((a + ker f) (b + ker f)) = f (ab) = f (a) f (b) .

单射：

φ (a + ker f) = 0 \Leftrightarrow f (a) = 0 \Leftrightarrow a \in ker f \Leftrightarrow a + ker f = ker f .

满射：由 $f$ 满射，任意 $s \in S$ 都有 $s = f (a) = φ (a + ker f)$ 。

Example

定义

f : Z \to Z_{n}, f (a) = \overline{a} .

则 $f$ 是满同态，

ker f = n Z .

因此

Z / n Z ≅ Z_{n} .

3. 由子集生成的理想

Def. 生成理想

设 $X \subseteq R$ 。 $R$ 中包含 $X$ 的最小理想称为由 $X$ 生成的理想，记为

⟨ X ⟩ .

等价地，

⟨ X ⟩ = X \subseteq I ⊲ R ⋂ I .

一般非交换情形

若 $X = {x_{1}, \dots, x_{n}}$ ，则生成理想由所有有限和构成，大致形如

i \sum r_{i} x_{i} + i \sum x_{i} s_{i} + i \sum r_{i}^{'} x_{i} s_{i}^{'}

以及必要的整数倍项。非交换时要同时考虑左乘、右乘和双边夹乘。

交换含 $1$ 环中

若 $R$ 是交换含 $1$ 环，则

⟨ x_{1}, d o t s, x_{n} ⟩ = R x_{1} + \dots + R x_{n}

即

⟨ x_{1}, \dots, x_{n} ⟩ = {r_{1} x_{1} + \dots + r_{n} x_{n} ∣ r_{i} \in R} .

特别地，单个元素生成的理想为

⟨ x ⟩ = R x = {r x ∣ r \in R} .

称 $⟨ x ⟩$ 为主理想。

Example

在 $Z$ 中，

⟨ m, n ⟩ = m Z + n Z .

若 $d = g cd (m, n)$ ，则

⟨ m, n ⟩ = d Z = ⟨ d ⟩ .

原因是 Bézout 等式给出

d = m s + n t,

所以 $d \in m Z + n Z$ ，反过来 $d ∣ m, d ∣ n$ ，所以 $m Z + n Z \subseteq d Z$ 。

4. 主理想整环 PID

Def. PID

设 $R$ 是整环。如果 $R$ 中每个理想都是主理想，则称 $R$ 是主理想整环，简称 PID。

\forall I ⊲ R, \exists a \in R, I = ⟨ a ⟩ .

Example

Z 是 PID .

因为 $Z$ 中每个理想都形如 $m Z = ⟨ m ⟩$ 。

在 PID 中 gcd 的理想解释

设 $R$ 是 PID， $a, b \in R$ 。因为

⟨ a, b ⟩

是理想，所以存在 $d \in R$ 使得

⟨ a, b ⟩ = ⟨ d ⟩ .

则 $d$ 是 $a, b$ 的最大公因子。

原因：

$a, b \in ⟨ d ⟩$ ，所以 $d ∣ a, d ∣ b$ ；
若 $c ∣ a, c ∣ b$ ，则 $a = c a^{'}, b = c b^{'}$ ，从而

⟨ a, b ⟩ \subseteq ⟨ c ⟩ .

于是 $d \in ⟨ c ⟩$ ，即 $c ∣ d$ 。

特别地

若 $a, b$ 互素，即 $g cd (a, b) \sim 1$ ，则

⟨ a, b ⟩ = R .

等价于存在 $x, y \in R$ ，使得

a x + b y = 1.

5. 整除、相伴、不可约元、素元

以下设 $R$ 是整环。

Def. 整除

设 $a, b \in R$ ， $a \neq = 0$ 。若存在 $c \in R$ ，使得

b = a c,

则称 $a$ 整除 $b$ ，记为

a ∣ b .

否则记为 $a ∤ b$ 。

Def. 相伴 associate

若 $a, b \neq = 0$ ，且

a ∣ b, b ∣ a,

则称 $a, b$ 相伴，记为

a \sim b .

在整环中，等价于存在单位 $u \in U (R)$ ，使得

a = b u .

Pf.

若 $a ∣ b, b ∣ a$ ，则

b = a c, a = b d .

代入得

a = a c d \Rightarrow a (1 - c d) = 0.

由于 $R$ 是整环且 $a \neq = 0$ ，所以

c d = 1.

因此 $c, d$ 是单位，故 $a, b$ 只差一个单位因子。

Prop. 相伴与主理想相同

在整环中，若 $a, b \neq = 0$ ，则

a \sim b ⟺ ⟨ a ⟩ = ⟨ b ⟩ .

Def. 不可约元 irreducible

设 $a \in R$ ， $a \neq = 0$ ，且 $a$ 不是单位。若

a = b c

推出 $b$ 或 $c$ 是单位，则称 $a$ 是不可约元。

等价说法： $a$ 没有非平凡分解。

Def. 素元 prime element

设 $p \in R$ ， $p \neq = 0$ ，且 $p$ 不是单位。若

p ∣ ab \Rightarrow p ∣ a 或 p ∣ b,

则称 $p$ 是素元。

Thm. 素元推出不可约元

若 $p$ 是素元，则 $p$ 是不可约元。

Pf.

设

p = ab .

则 $p ∣ ab$ 。由素元定义， $p ∣ a$ 或 $p ∣ b$ 。

若 $p ∣ a$ ，则 $a = p c$ 。代入

p = p c b \Rightarrow p (1 - c b) = 0.

因为 $R$ 是整环且 $p \neq = 0$ ，所以 $c b = 1$ ，故 $b$ 是单位。另一种情况类似。因此 $p$ 不可约。

注意

一般整环中：

素元 \Rightarrow 不可约元,

反方向不一定成立。若 $R$ 是 UFD，则二者等价。

6. gcd 与 lcm

Def. 最大公因子 gcd

设 $a, b \in R ∖ {0}$ 。若 $d \in R$ 满足：

$d ∣ a$ ， $d ∣ b$ ；
对任意 $d^{'}$ ，若 $d^{'} ∣ a, d^{'} ∣ b$ ，则 $d^{'} ∣ d$ ；

则称 $d$ 是 $a, b$ 的最大公因子，记为

d = g cd (a, b)

或

d = (a, b) .

gcd 的唯一性

gcd 不一定唯一，但若存在，则在相伴意义下唯一：

d, d^{'} 都是 gcd \Rightarrow d \sim d^{'} .

Def. 最小公倍数 lcm

设 $a, b \in R ∖ {0}$ 。若 $c \in R$ 满足：

$a ∣ c$ ， $b ∣ c$ ；
对任意 $c^{'}$ ，若 $a ∣ c^{'}, b ∣ c^{'}$ ，则 $c ∣ c^{'}$ ；

则称 $c$ 是 $a, b$ 的最小公倍数，记为

lcm (a, b) .

lcm 同样只在相伴意义下唯一。

7. UFD：唯一分解整环

Def. UFD

整环 $R$ 称为唯一分解整环 UFD，如果每个非零非单位元 $a \in R$ 都能写成不可约元乘积：

a = p_{1} p_{2} \dots p_{n},

并且这种分解在相伴和排列意义下唯一。

也就是说，若

a = p_{1} \dots p_{n} = q_{1} \dots q_{m},

其中 $p_{i}, q_{j}$ 都不可约，则

n = m,

且存在一个置换 $σ \in S_{n}$ ，使得

p_{i} \sim q_{σ (i)} .

Thm. UFD 中不可约元等价于素元

若 $R$ 是 UFD，则

p 不可约 ⟺ p 素元 .

Pf. 关键方向：不可约推出素

设 $p$ 不可约，且

p ∣ ab .

则存在 $c$ ，使得

ab = p c .

把 $a, b, c$ 都分解成不可约元乘积。由于 UFD 分解唯一，左边 $ab$ 的不可约分解中必须出现一个与 $p$ 相伴的因子。这个因子要么来自 $a$ ，要么来自 $b$ 。因此

p ∣ a 或 p ∣ b .

故 $p$ 是素元。

Example. 非 UFD 现象

在

Z [- 5] = {a + b - 5 ∣ a, b \in Z}

中有经典分解：

6 = 2 \cdot 3 = (1 + - 5) (1 - - 5) .

这些因子之间不能仅通过单位和排列互相对应，因此该环不是 UFD。常用范数

N (a + b - 5) = a^{2} + 5 b^{2}

辅助证明其中某些元素不可约。

8. PID 推出 UFD

Thm.

PID \Rightarrow UFD .

证明思路

证明分两步：

1. 存在性

若某个非零非单位元 $a$ 不能分解为不可约元乘积，则 $a$ 不是不可约元，所以

a = a_{1} b_{1}

其中 $a_{1}, b_{1}$ 都不是单位，且 $a_{1}$ 是 $a$ 的真因子。于是

⟨ a ⟩ ⊊ ⟨ a_{1} ⟩ .

若 $a_{1}$ 仍不能分解，继续得到严格上升的主理想链：

⟨ a ⟩ ⊊ ⟨ a_{1} ⟩ ⊊ ⟨ a_{2} ⟩ ⊊ \dots

在 PID 中不存在无限严格上升的理想链，因此矛盾。故分解存在。

2. 唯一性

在 PID 中可证明不可约元是素元：若 $p$ 不可约，考虑理想 $⟨ p ⟩$ ，它是极大理想，从而是素理想；因此 $p$ 是素元。素元性质保证分解唯一。

关系图

ED \Rightarrow PID \Rightarrow UFD

反向一般不成立。

9. ED：欧几里得整环

Def. 欧几里得函数

整环 $R$ 称为欧几里得整环 ED，如果存在函数

φ : R ∖ {0} \to N

满足：对任意 $a, b \in R$ ， $b \neq = 0$ ，存在 $q, r \in R$ ，使得

a = b q + r,

且

r = 0 或 φ (r) < φ (b) .

通常还要求 $φ$ 与乘法有一定兼容性，但证明 ED 推出 PID 主要使用除法性质。

Example

Z 是 ED, φ (n) = ∣ n ∣.

因为整数有带余除法。

Thm. ED 推出 PID

ED \Rightarrow PID .

Pf.

设 $I ⊲ R$ ， $I \neq = {0}$ 。取 $a \in I$ ， $a \neq = 0$ ，使得 $φ (a)$ 在 $I ∖ {0}$ 中最小。

显然

⟨ a ⟩ \subseteq I .

任取 $x \in I$ 。由欧几里得除法，存在 $q, r \in R$ ，使得

x = q a + r,

其中 $r = 0$ 或 $φ (r) < φ (a)$ 。

又因为 $x \in I, q a \in I$ ，所以

r = x - q a \in I .

若 $r \neq = 0$ ，则 $r \in I ∖ {0}$ 且 $φ (r) < φ (a)$ ，与 $a$ 的选择矛盾。因此 $r = 0$ ，从而

x = q a \in ⟨ a ⟩ .

所以 $I \subseteq ⟨ a ⟩$ 。最终

I = ⟨ a ⟩ .

故 $R$ 是 PID。

Example. PID 但不是 ED

某些二次数环是 PID 但不是 ED，例如课程笔记中提到的形如

Z [\frac{1 + - 19}{2}]

是 PID 但不是 ED。

10. 极大理想与素理想

Def. 极大理想 maximal ideal

设 $R$ 是含 $1$ 交换环。真理想 $I \neq = R$ 称为极大理想，如果不存在真理想 $J$ 满足

I ⊊ J ⊊ R .

等价地：若 $I \subseteq J \subseteq R$ ，则

J = I 或 J = R .

Thm. 商环判别极大理想

I 是极大理想 ⟺ R / I 是域 .

Pf. 思路

若 $I$ 极大。任取 $a + I \neq = 0 + I$ ，即 $a \in / I$ 。由极大性，

I + ⟨ a ⟩ = R .

所以存在 $i \in I, r \in R$ ，使得

i + r a = 1.

模 $I$ 得

(r + I) (a + I) = 1 + I,

故每个非零元可逆， $R / I$ 是域。

若 $R / I$ 是域。若 $I ⊊ J \subseteq R$ ，取 $a \in J ∖ I$ 。则 $a + I \neq = 0$ ，在 $R / I$ 中可逆，所以存在 $r$ ，使

(r + I) (a + I) = 1 + I .

即 $r a - 1 \in I \subseteq J$ 。又 $r a \in J$ ，所以 $1 \in J$ ，故 $J = R$ 。因此 $I$ 极大。

Def. 素理想 prime ideal

真理想 $P \neq = R$ 称为素理想，如果

ab \in P \Rightarrow a \in P 或 b \in P .

Thm. 商环判别素理想

P 是素理想 ⟺ R / P 是整环 .

Pf.

在 $R / P$ 中，

(a + P) (b + P) = 0 + P ⟺ ab \in P .

若 $P$ 素，则 $ab \in P$ 推出 $a \in P$ 或 $b \in P$ ，即

a + P = 0 + P 或 b + P = 0 + P .

所以 $R / P$ 无零因子，是整环。反向同理。

Cor. 极大理想一定是素理想

因为

R / I 是域 \Rightarrow R / I 是整环 .

所以

I 极大 \Rightarrow I 素 .

Principal ideal 的素性

设 $R$ 是整环， $p \in R$ 非零非单位。

⟨ p ⟩ 是素理想 ⟺ p 是素元 .

Pf.

ab \in ⟨ p ⟩ ⟺ p ∣ ab .

素理想条件给出

ab \in ⟨ p ⟩ \Rightarrow a \in ⟨ p ⟩ 或 b \in ⟨ p ⟩,

等价于

p ∣ a 或 p ∣ b .

11. 理想的和、交、积

设 $I, J ⊲ R$ 。

Def. 理想和

I + J = {a + b ∣ a \in I, b \in J} .

它仍然是理想。

若

I + J = R,

称 $I, J$ 互素。

Def. 理想交

I \cap J = {a \in R ∣ a \in I 且 a \in J} .

它仍然是理想。

Def. 理想积

I J = {k = 1 \sum n a_{k} b_{k} ∣ a_{k} \in I, b_{k} \in J, n \geq 1} .

若

I = ⟨ a_{1}, \dots, a_{m} ⟩, J = ⟨ b_{1}, \dots, b_{n} ⟩,

则

I J = ⟨ a_{i} b_{j} ∣ 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n ⟩ .

Prop. 互素理想时交等于积

若 $I + J = R$ ，则

I \cap J = I J .

Pf.

总有

I J \subseteq I \cap J .

反过来，若 $x \in I \cap J$ 。因为 $I + J = R$ ，存在 $a \in I, b \in J$ ，使

a + b = 1.

于是

x = x (a + b) = x a + x b .

其中 $x \in J, a \in I$ ，所以 $x a \in I J$ ； $x \in I, b \in J$ ，所以 $x b \in I J$ 。故 $x \in I J$ 。

12. 中国剩余定理 CRT

环的直积

设 $R_{1}, \dots, R_{n}$ 是环，定义

R_{1} \times \dots \times R_{n}

其中运算逐分量进行：

(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n}),

(a_{1}, \dots, a_{n}) (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} b_{1}, \dots, a_{n} b_{n}) .

注意：若 $n \geq 2$ ，即使每个 $R_{i}$ 是整环，直积也通常不是整环，因为

(1, 0) (0, 1) = (0, 0) .

Thm. 中国剩余定理

设 $R$ 是含 $1$ 交换环， $I_{1}, \dots, I_{n}$ 是两两互素理想，即

I_{i} + I_{j} = R, i \neq = j .

令

I = I_{1} I_{2} \dots I_{n} .

则

R / I ≅ R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n} .

同构映射为

φ : R / I \to R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n},

φ (a + I) = (a + I_{1}, \dots, a + I_{n}) .

由于两两互素时

I_{1} \dots I_{n} = I_{1} \cap \dots \cap I_{n},

所以也常写为

R / (I_{1} \cap \dots \cap I_{n}) ≅ R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n} .

Pf. 证明结构

1. 构造同态

定义

f : R \to R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n},

f (a) = (a + I_{1}, \dots, a + I_{n}) .

显然 $f$ 是环同态。

2. 核

f (a) = 0 ⟺ a \in I_{i}, \forall i ⟺ a \in i = 1 ⋂ n I_{i} .

两两互素时交等于积，因此

ker f = I_{1} \cap \dots \cap I_{n} = I_{1} \dots I_{n} = I .

3. 满射

要构造元素 $e_{i}$ ，使得

e_{i} \equiv 1 (mod I_{i}), e_{i} \equiv 0 (mod I_{j}), j \neq = i .

因为 $I_{i}$ 与 $I_{j}$ 两两互素，可构造

e_{i} \in j \neq = i \prod I_{j}

并满足 $e_{i} \equiv 1 (mod I_{i})$ 。

于是对任意目标

(x_{1} + I_{1}, \dots, x_{n} + I_{n}),

令

x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n} .

则

x \equiv x_{i} (mod I_{i}),

故 $f$ 满射。

由环同态基本定理得 CRT。

Example. 整数版 CRT

若 $m, n$ 互素，则

Z / mn Z ≅ Z / m Z \times Z / n Z .

更一般地，若 $n_{1}, \dots, n_{k}$ 两两互素，则

Z / (n_{1} \dots n_{k}) Z ≅ Z / n_{1} Z \times \dots \times Z / n_{k} Z .

13. CRT 与 RSA 思路

RSA 中取两个大素数 $p, q$ ，令

n = pq .

则

φ (n) = (p - 1) (q - 1) .

选择 $e$ 满足

g cd (e, φ (n)) = 1.

再取 $d$ 使

e d \equiv 1 (mod φ (n)) .

加密：

c \equiv m^{e} (mod n) .

解密：

c^{d} \equiv m^{e d} (mod n) .

因为

e d = 1 + k φ (n),

要证明

m^{e d} \equiv m (mod n) .

通常分别模 $p$ 和模 $q$ 证明：

若 $p ∤ m$ ，由费马小定理

m^{p - 1} \equiv 1 (mod p) .

若 $p ∣ m$ ，则显然

m^{e d} \equiv 0 \equiv m (mod p) .

所以总有

m^{e d} \equiv m (mod p) .

同理

m^{e d} \equiv m (mod q) .

由 CRT 得

m^{e d} \equiv m (mod pq) .

14. 商域 fraction field

目标

把整环 $A$ 嵌入到一个域 $K$ 中，并使 $K$ 中元素都可以写成

\frac{a}{b}, a \in A, b \in A ∖ {0} .

这类似于从 $Z$ 构造 $Q$ 。

构造

设

A^{*} = A ∖ {0} .

在 $A \times A^{*}$ 上定义等价关系：

(a, b) \sim (c, d) ⟺ a d = b c .

记等价类为

\frac{a}{b} .

定义

K = {\frac{a}{b} ∣ a \in A, b \in A^{*}} .

运算

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d},

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d} .

这些运算是良定义的。

Thm. $K$ 是域

零元：

0 = \frac{0}{1} .

单位元：

1 = \frac{1}{1} .

加法逆元：

- \frac{a}{b} = \frac{- a}{b} .

非零元的乘法逆元：若

\frac{a}{b} \neq = 0,

则 $a \neq = 0$ ，所以

(\frac{a}{b})^{- 1} = \frac{b}{a} .

因此 $K$ 是域。

嵌入

定义

i : A \to K, i (a) = \frac{a}{1} .

若

\frac a1= rac b1,

则

a = b .

所以 $i$ 是单射， $A$ 可视为 $K$ 的子环。

最小性

若 $F$ 是任意包含 $A$ 的域，则对任意 $a / b \in K$ ，在 $F$ 中可解释为

\frac{a}{b} = a \cdot b^{- 1} \in F .

因此商域 $K$ 是包含 $A$ 的“最小域”。

Example

Frac (Z) = Q .

若 $F$ 是域，则

Frac (F) = F .

15. 局部化 localization

Def. 乘法封闭子集

设 $A$ 是环， $S \subseteq A$ 。若

1 \in S, s, t \in S \Rightarrow s t \in S,

则称 $S$ 是乘法封闭子集。

通常还要求 $0 \in / S$ ，否则局部化会退化。

Def. 局部化 $S^{- 1} A$

令

S^{- 1} A = {\frac{a}{s} ∣ a \in A, s \in S} .

定义等价关系：

(a, s) \sim (b, t)

若存在 $u \in S$ ，使得

u (a t - b s) = 0.

当 $A$ 是整环且 $0 \in / S$ 时，可简化为

a t = b s .

运算定义为

\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{a t + b s}{s t},

\frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{s t} .

直觉

局部化就是“强行让 $S$ 中的元素都变成可逆元”。在 $S^{- 1} A$ 中，若 $s \in S$ ，则

\frac{s}{1} \cdot \frac{1}{s} = 1.

16. 素理想与局部化的对应

设 $P$ 是 $A$ 的素理想，取

S = A ∖ P .

因为 $P$ 是素理想， $S$ 是乘法封闭的：若 $a, b \in / P$ ，但 $ab \in P$ ，由素理想定义推出 $a \in P$ 或 $b \in P$ ，矛盾。

局部化记为

A_{P} = S^{- 1} A .

这是在素理想 $P$ 处的局部化。

从 $A$ 的素理想到 $S^{- 1} A$ 的素理想

若 $Q$ 是 $A$ 的素理想，且

Q \cap S = \emptyset,

则可以扩张成 $S^{- 1} A$ 中的素理想

S^{- 1} Q = {\frac{q}{s} ∣ q \in Q, s \in S} .

从 $S^{- 1} A$ 的素理想到 $A$ 的素理想

若 $q$ 是 $S^{- 1} A$ 的素理想，则收缩

q^{c} = {a \in A ∣ \frac{a}{1} \in q}

是 $A$ 中与 $S$ 不相交的素理想。

Thm. 素理想对应

$S^{- 1} A$ 中的素理想与 $A$ 中满足

P \cap S = \emptyset

的素理想一一对应。

对应关系为

P \mapsto S^{- 1} P,

q \mapsto q^{c} .

两者互逆：

(S^{- 1} P)^{c} = P,

S^{- 1} (q^{c}) = q .

特别情形： $A_{P}$

当 $S = A ∖ P$ 时， $A_{P}$ 的素理想对应于 $A$ 中包含于 $P$ 的素理想。

也就是说：

Spec (A_{P}) \leftrightarrow {Q \in Spec (A) ∣ Q \subseteq P} .

其中 $A_{P}$ 的唯一极大理想为

P A_{P} = S^{- 1} P .

这就是“局部”的含义：在 $P$ 附近，只保留包含在 $P$ 下面的素理想结构。

17. 总结关系图

环与理想

I ⊲ R \Rightarrow R / I 是环

f : R \to S 满同态 \Rightarrow R / ker f ≅ S

理想判别

I 极大 ⟺ R / I 是域

P 素 ⟺ R / P 是整环

I 极大 \Rightarrow I 素

分解理论

ED \Rightarrow PID \Rightarrow UFD

素元 \Rightarrow 不可约元

R 是 UFD \Rightarrow 素元 ⟺ 不可约元

CRT

若 $I_{i} + I_{j} = R$ ， $i \neq = j$ ，则

R / (I_{1} \dots I_{n}) ≅ R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n} .

商域与局部化

Frac (A) = {\frac{a}{b} ∣ a \in A, b \neq = 0}

S^{- 1} A = {\frac{a}{s} ∣ a \in A, s \in S}

商域是把所有非零元都变成可逆元；局部化是只把 $S$ 中的元素变成可逆元。

18. 易混点整理

1. 单位元 vs 单位

单位元 identity：乘法幺元 $1$ 。
单位 unit：可逆元素，集合记作 $U (R)$ 。

例如：

U (Z) = {1, - 1} .

2. 不可约元 vs 素元

不可约元说的是“不能继续分解”；素元说的是“整除乘积则整除某个因子”。

素元更强。

一般整环中：素元一定不可约，但不可约不一定素。

3. gcd 不是真的唯一

在一般整环中，gcd 只在相伴意义下唯一：

d \sim d^{'} .

在 $Z$ 中常取正的 gcd，是人为选了一个代表元。

4. $I J$ 和 $I \cap J$

总有

I J \subseteq I \cap J .

但等号需要条件。若 $I + J = R$ ，则

I J = I \cap J .

5. CRT 的关键不是“模数互素”，而是“理想互素”

整数版里 $m, n$ 互素对应

m Z + n Z = Z .

一般环中写作

I + J = R .

6. 商域 vs 局部化

商域是局部化的特殊情况：若 $A$ 是整环，取

S = A ∖ {0},

则

S^{- 1} A = Frac (A) .

Lec11

1. 多项式环的定义

设 $R$ 是一个环， $R [x]$ 表示以 $R$ 中元素为系数、以 $x$ 为未定元的多项式环：

R [x] = {f (x) = i = 0 \sum m a_{i} x^{i} ∣ m \geq 0, a_{i} \in R}

这里 $x$ 是形式符号，不一定代表 $R$ 中的元素。若

f (x) = i = 0 \sum m a_{i} x^{i}, g (x) = j = 0 \sum n b_{j} x^{j}

则

f + g = k = 0 \sum m a x (m, n) (a_{k} + b_{k}) x^{k}

不足的系数视为 $0$ ；

f g = k = 0 \sum m + n c_{k} x^{k}, c_{k} = i + j = k \sum a_{i} b_{j}

因此 $R [x]$ 也是环；若 $R$ 是交换环，则 $R [x]$ 也是交换环；若 $R$ 含 $1$ ，则 $R [x]$ 也含 $1$ 。

2. 次数与基本性质

设

f (x) = i = 0 \sum n a_{i} x^{i}, a_{n} \neq = 0

则 $n$ 为 $f$ 的次数，记为：

de g f = n

约定：

de g 0 = - \infty

常数多项式 $a \neq = 0$ 的次数为 $0$ 。注意 $0$ 多项式不是次数为 $0$ ，而是单独约定为 $- \infty$ 。对任意 $f, g \in R [x]$ ，有：

de g (f + g) \leq max (de g f, de g g)

de g (f g) \leq de g f + de g g

若 $R$ 是整环且 $f, g \neq = 0$ ，最高次项系数不会相乘为 $0$ ，所以：

de g (f g) = de g f + de g g

3. $R [x]$ 的单位

若 $R$ 是整环，则：

U (R [x]) = U (R)

即 $R [x]$ 中的可逆元只能是 $R$ 中的可逆常数。证明：若 $f g = 1$ ，则

de g f + de g g = de g (f g) = 0

所以 $de g f = de g g = 0$ ，二者都是常数。反过来， $R$ 中的单位自然也是 $R [x]$ 中的单位。特别地，若 $F$ 是域：

U (F [x]) = F^{\times} = F ∖ {0}

4. 不可约元与素元

设 $R$ 是整环， $0 \neq = a \in R$ 且 $a$ 不是单位。若

a = b c

只能推出 $b$ 或 $c$ 是单位，则称 $a$ 为不可约元。若

a ∣ b c \Rightarrow a ∣ b 或 a ∣ c

则称 $a$ 为素元。一般有：

素元 \Rightarrow 不可约元

但反过来不一定成立。若 $R$ 是 UFD，则不可约元等价于素元。

5. $F [x]$ 是欧氏整环

设 $F$ 是域。对 $F [x]$ 定义欧氏函数：

v (f) = de g f, f \neq = 0

由于域中非零系数都可逆，所以可以做带余除法：

\forall f, g \in F [x], g \neq = 0, \exists q, r \in F [x], f = q g + r, r = 0 或 de g r < de g g

因此：

F [x] 是 ED

于是：

F [x] 是 ED \Rightarrow F [x] 是 PID \Rightarrow F [x] 是 UFD

关键点：这里必须是域。若只是整环 $R$ ， $R [x]$ 不一定能带余除法，因为首项系数可能不可逆。

6. 带余除法证明思路

设

de g f = n, de g g = m, n \geq m

写作

f = a_{n} x^{n} + \dots, g = b_{m} x^{m} + \dots, b_{m} \neq = 0

因为 $F$ 是域，所以 $b_{m}^{- 1}$ 存在。令

q_{1} = a_{n} b_{m}^{- 1} x^{n - m}

则 $f - q_{1} g$ 的次数严格小于 $n$ 。不断重复，就得到：

f = q g + r, r = 0 或 de g r < de g g

7. 商环 $F [x] / (f)$

设 $F$ 是域， $f \in F [x]$ ， $de g f = n > 0$ 。由带余除法，任意 $g \in F [x]$ 都能写成：

g = q f + r, de g r < n

所以每个陪集都有唯一代表元：

r = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1}

因此：

F [x] / (f) = {r + (f) ∣ de g r < n}

作为 $F$ -向量空间，它的一组基为：

1 + (f), x + (f), \dots, x^{n - 1} + (f)

所以：

dim_{F} F [x] / (f) = n

若 $f$ 在 $F [x]$ 中不可约，则 $(f)$ 是极大理想，故：

F [x] / (f) 是域

8. 例： $Z_{p} [x] / (f)$

设 $p$ 为素数， $f \in Z_{p} [x]$ ， $de g f = n$ 且 $f$ 不可约，则：

Z_{p} [x] / (f)

是一个域。每个元素都唯一写成：

a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} + (f), a_{i} \in Z_{p}

所以它有：

p^{n}

个元素。这是构造有限域的基本方法。

9. 最大公因式与 Bezout 等式

在 $F [x]$ 中，因为 $F [x]$ 是 PID，所以任意 $f, g \in F [x]$ 的最大公因式存在。若 $d = g cd (f, g)$ ，则：

(f, g) = (d)

因此存在 $u, v \in F [x]$ 使得：

f u + gv = d

特别地：

g cd (f, g) = 1 ⟺ \exists u, v \in F [x], f u + gv = 1

10. 余数定理

设 $F$ 是域， $f \in F [x]$ ， $c \in F$ 。对 $x - c$ 做带余除法：

f = q (x) (x - c) + r, de g r < 1

所以 $r$ 是常数。代入 $x = c$ 得：

f (c) = r

因此：

f (c) = 0 ⟺ x - c ∣ f

11. 根与重根

设 $f \in F [x]$ ， $c \in F$ 。若

f (c) = 0

则称 $c$ 是 $f$ 在 $F$ 中的一个根。若存在 $m \geq 1$ ，使得

(x - c)^{m} ∣ f, (x - c)^{m + 1} ∤ f

则称 $c$ 是 $f$ 的 $m$ 重根。等价地：

f = (x - c)^{m} g, g (c) \neq = 0

若 $m = 1$ ，称 $c$ 是单根；若 $m \geq 2$ ，称 $c$ 是重根。若 $f \in F [x]$ 且 $de g f = n \geq 0$ ，则 $f$ 在 $F$ 中至多有 $n$ 个根，重根按重数计算。

12. 形式导数

设

f (x) = i = 0 \sum n a_{i} x^{i} \in R [x]

定义形式导数为：

f^{'} (x) = i = 1 \sum n i a_{i} x^{i - 1}

这里的 $i a_{i}$ 表示 $a_{i}$ 加自身 $i$ 次，不是微积分里的极限导数。形式导数满足：

(f + g)^{'} = f^{'} + g^{'}, (c f)^{'} = c f^{'}

(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}, (g^{n})^{'} = n g^{n - 1} g^{'}

13. 重根与导数

设 $F$ 是域， $f \in F [x]$ ， $c \in F$ ，且

f = (x - c)^{m} g, g (c) \neq = 0

则：

f^{'} = m (x - c)^{m - 1} g + (x - c)^{m} g^{'}

若 $m \geq 2$ ，则：

f (c) = 0, f^{'} (c) = 0

所以：

c 是重根 \Rightarrow f (c) = f^{'} (c) = 0

整体判别常写为：

f 有重根 ⟺ g cd (f, f^{'}) \neq = 1

这个判别通常是在 $F$ 的代数闭包中理解。

14. 常见修正与原因

修正 1：不能说 $R [x]$ 一定是 UFD。正确说法是：若 $R$ 是 UFD，则 $R [x]$ 是 UFD；特别地，若 $F$ 是域，则 $F [x]$ 是 ED、PID、UFD。原因是一般环 $R$ 可能有零因子或不可唯一分解。
修正 2：带余除法需要 $g$ 的首项系数可逆。若在 $F [x]$ 中， $F$ 是域，所以一定可做；若在一般 $R [x]$ 中，不一定可做。
修正 3： $U (R [x]) = U (R)$ 需要额外条件，例如 $R$ 是整环。若 $R$ 有幂零元， $R [x]$ 可能有非常数单位。
修正 4： $0$ 多项式不是次数为 $0$ ，而是约定 $de g 0 = - \infty$ 。次数为 $0$ 的是非零常数多项式。
修正 5： $Z [x]$ 不是 PID。虽然 $Z$ 是 PID，但 $Z [x]$ 不是 PID，例如理想 $(2, x)$ 不是主理想。
修正 6： $F [x] / (f)$ 是域的条件是 $f$ 不可约，不是任意 $f$ 都可以。若 $f$ 可约，则商环通常有零因子。
修正 7：形式导数不是微积分里的导数，不需要 $x$ 取实数值。它是按公式定义的代数运算。

15. 本节逻辑总览

F 是域 \Rightarrow F [x] 可做带余除法 \Rightarrow F [x] 是 ED \Rightarrow F [x] 是 PID \Rightarrow F [x] 是 UFD

f \in F [x], de g f = n \Rightarrow F [x] / (f) 中每个元素唯一表示为次数 < n 的多项式

f 不可约 \Rightarrow (f) 极大理想 \Rightarrow F [x] / (f) 是域

f (c) = 0 ⟺ x - c ∣ f

c 是重根 \Rightarrow f (c) = f^{'} (c) = 0

Lec12

1. 高斯引理

1.1 content 与本原多项式

设 $D$ 是 UFD， $f \in D [x]$ ，写作

f = i = 0 \sum n a_{i} x^{i}, a_{i} \in D

定义 $f$ 的 content 为所有系数的最大公因子：

c (f) = g cd (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})

若 $c (f) \sim 1$ ，则称 $f$ 是 本原多项式（primitive polynomial）。

修正：你笔记里“系数最大公因子”这里应理解为“系数的 gcd”，不是普通意义上的最大值。因为在 UFD 中没有大小关系，只有整除关系。

1.2 Gauss 引理

若 $D$ 是 UFD， $f, g \in D [x]$ ，则

c (f g) \sim c (f) c (g)

特别地：

f, g 本原 ⟺ f g 本原

证明思路

只需证“本原 $\times$ 本原仍本原”。若 $f, g$ 本原但 $f g$ 不本原，则存在不可约元 $p \in D$ 使 $p$ 整除 $f g$ 的所有系数。设

f = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}, g = b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{m} x^{m}

由于 $f, g$ 本原，可取最小的 $r, s$ 使

p ∤ a_{r}, p ∤ b_{s}

且对 $i < r, j < s$ 有 $p ∣ a_{i}, p ∣ b_{j}$ 。考虑 $f g$ 中 $x^{r + s}$ 的系数：

c_{r + s} = i + j = r + s \sum a_{i} b_{j}

其中除 $a_{r} b_{s}$ 外，其他项都被 $p$ 整除，因此

c_{r + s} \equiv a_{r} b_{s} (mod p)

而 $p$ 不整除 $a_{r} b_{s}$ ，矛盾。故 $f g$ 本原。

1.3 UFD 分式域上的不可约性

设 $D$ 是 UFD， $F = Frac (D)$ 。若 $f \in D [x]$ ， $de g f \geq 1$ ，且 $f$ 本原，则

f 在 D [x] 中不可约 ⟺ f 在 F [x] 中不可约

证明

“ $\Leftarrow$ ”显然：若在 $D [x]$ 可约，则在 $F [x]$ 也可约。 “ $\Rightarrow$ ”：若 $f$ 在 $F [x]$ 中可约，设

f = g h, g, h \in F [x], de g g, de g h > 0

清分母后可写成

a f = g_{1} h_{1}, a \in D - {0}, g_{1}, h_{1} \in D [x]

取 content 并用 Gauss 引理，可把 $g_{1}, h_{1}$ 分别化成本原部分，最终得到

f = g_{2} h_{2}, g_{2}, h_{2} \in D [x], de g g_{2}, de g h_{2} > 0

这与 $f$ 在 $D [x]$ 中不可约矛盾。

修正：这里不能直接说“ $F [x]$ 可约 $\Rightarrow D [x]$ 可约”，中间必须用清分母和 Gauss 引理处理。

1.4 例子

在 $Z [x]$ 中：

f (x) = 2 x^{5} - 6 x^{3} + 9 x - 15

由 Gauss 引理，判断它在 $Q [x]$ 中是否不可约，可以先在 $Z [x]$ 中判断。

2. Eisenstein 判别法

定理

设 $D$ 是 UFD， $F = Frac (D)$ ， $f \in D [x]$ ， $de g f = n \geq 1$ ，且

f = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}

若存在不可约元 $p \in D$ ，满足：

p ∣ a_{i} (0 \leq i \leq n - 1), p ∤ a_{n}, p^{2} ∤ a_{0}

则 $f$ 在 $F [x]$ 中不可约。

证明

反设 $f = g h$ 在 $D [x]$ 中可约，其中

g = b_{r} x^{r} + \dots + b_{0}, h = c_{s} x^{s} + \dots + c_{0}, r, s \geq 1

由常数项

a_{0} = b_{0} c_{0}

且 $p ∣ a_{0}, p^{2} ∤ a_{0}$ ，可设

p ∣ b_{0}, p ∤ c_{0}

因为最高次项

a_{n} = b_{r} c_{s}

且 $p ∤ a_{n}$ ，所以

p ∤ b_{r}, p ∤ c_{s}

取最小的 $k$ 使 $p ∤ b_{k}$ 。则 $k \geq 1$ 。看 $x^{k}$ 的系数：

a_{k} = b_{k} c_{0} + b_{k - 1} c_{1} + \dots + b_{0} c_{k}

由 $k < n$ ，条件给出 $p ∣ a_{k}$ ；又 $p ∣ b_{0}, \dots, b_{k - 1}$ ，所以除 $b_{k} c_{0}$ 外其余项都被 $p$ 整除。于是

p ∣ b_{k} c_{0}

但 $p ∤ b_{k}$ 且 $p ∤ c_{0}$ ，矛盾。故 $f$ 不可约。

例 1

x^{n} - p \in Z [x]

取 Eisenstein 素数 $p$ ，有

p ∣ 0, p ∣ (- p), p ∤ 1, p^{2} ∤ (- p)

故 $x^{n} - p$ 在 $Q [x]$ 中不可约。

例 2：圆分多项式型

设 $p$ 为素数：

f (x) = x^{p - 1} + x^{p - 2} + \dots + x + 1

直接用 Eisenstein 不明显。令 $x = y + 1$ ，则

f (y + 1) = \frac{( y + 1 ) ^{p} - 1}{y} = y^{p - 1} + (1 p) y^{p - 2} + \dots + (p - 1 p)

除首项外所有系数被 $p$ 整除，常数项为 $p$ ，不被 $p^{2}$ 整除，故 $f (y + 1)$ 不可约，从而 $f (x)$ 不可约。

修正：笔记里写“令 $x + 1$ 看不可约性”时，要明确是做变量代换 $x = y + 1$ 。因为代换 $x \mapsto x + 1$ 是 $Q [x]$ 的自同构，会保持不可约性。

3. 域扩张与线性空间

3.1 域扩张

若 $F \subset E$ 且 $F, E$ 都是域，并且 $E$ 的运算限制到 $F$ 上就是 $F$ 的运算，则称 $E$ 是 $F$ 的扩域，记作

E / F

例：

Q \subset R \subset C

3.2 扩域自然成为线性空间

若 $E / F$ 是域扩张，则 $E$ 可以看作 $F$ 上的线性空间。数乘定义为域中乘法：

F \times E \to E, (r, v) \mapsto r v

满足：

(r + s) v = r v + s v, r (u + v) = r u + r v, (rs) v = r (s v), 1 v = v

3.3 扩张次数

定义 $E$ 作为 $F$ -线性空间的维数为扩张次数：

[E : F] = dim_{F} E

若 $[E : F] < \infty$ ，称 $E / F$ 是有限扩张。

3.4 次数乘法定理

若

F \subset E \subset K

且 $[E : F]$ 、 $[K : E]$ 都有限，则

[K : F] = [K : E] [E : F]

证明

设 ${α_{i}}_{i \in I}$ 是 $E / F$ 的一组基， ${β_{j}}_{j \in J}$ 是 $K / E$ 的一组基。证明

{α_{i} β_{j} ∣ i \in I, j \in J}

是 $K / F$ 的一组基。生成性：任取 $x \in K$ ，由于 ${β_{j}}$ 是 $K / E$ 的基，

x = j \sum e_{j} β_{j}, e_{j} \in E

又 $e_{j} = \sum_{i} f_{ij} α_{i}$ ， $f_{ij} \in F$ ，所以

x = i, j \sum f_{ij} α_{i} β_{j}

线性无关性：若

i, j \sum f_{ij} α_{i} β_{j} = 0

整理为

j \sum (i \sum f_{ij} α_{i}) β_{j} = 0

因 ${β_{j}}$ 在 $K / E$ 上线性无关，得

i \sum f_{ij} α_{i} = 0, \forall j

再由 ${α_{i}}$ 在 $E / F$ 上线性无关，得 $f_{ij} = 0$ 。故结论成立。

例子

[C : R] = 2

因为 ${1, i}$ 是 $C$ 在 $R$ 上的一组基。

4. 由元素生成的域

4.1 $F [α]$ 与 $F (α)$

设 $E / F$ 是扩域， $α \in E$ 。

F [α] = {f (α) ∣ f \in F [x]}

这是 $E$ 中包含 $F$ 和 $α$ 的最小子环。

F (α) = {\frac{f ( α )}{g ( α )} ∣ f, g \in F [x], g (α) \neq = 0}

这是 $E$ 中包含 $F$ 和 $α$ 的最小子域。

易混点： $F [α]$ 是“多项式代入”得到的环， $F (α)$ 允许分式，因此是域。一般有 $F [α] \subset F (α)$ 。

4.2 多元情形

若 $α_{1}, \dots, α_{n} \in E$ ，则

F [α_{1}, \dots, α_{n}] = {f (α_{1}, \dots, α_{n}) ∣ f \in F [x_{1}, \dots, x_{n}]}

F (α_{1}, \dots, α_{n}) = {\frac{f ( α _{1} , \dots , α _{n} )}{g ( α _{1} , \dots , α _{n} )} ∣ f, g \in F [x_{1}, \dots, x_{n}], g (α_{1}, \dots, α_{n}) \neq = 0}

5. 代数元与超越元

5.1 定义

设 $E / F$ 是域扩张， $α \in E$ 。若存在非零多项式 $f \in F [x]$ 使

f (α) = 0

则称 $α$ 是 $F$ 上的代数元。否则称 $α$ 是 $F$ 上的超越元。

例：

2 是 Q 上的代数元，因为 x^{2} - 2 = 0

ω = e^{2 πi /3} 是 Q 上的代数元，因为 ω^{2} + ω + 1 = 0

而 $π, e$ 是 $Q$ 上的超越数。

5.2 有限扩张一定是代数扩张

若 $[E : F] < \infty$ ，则任意 $α \in E$ 都是 $F$ 上的代数元。

证明

设 $[E : F] = n$ 。考虑 $n + 1$ 个元素

1, α, α^{2}, \dots, α^{n}

它们在 $n$ 维 $F$ -线性空间 $E$ 中必线性相关，故存在不全为零的 $a_{i} \in F$ 使

a_{0} + a_{1} α + \dots + a_{n} α^{n} = 0

即 $α$ 是某个非零多项式的根，所以 $α$ 代数。

修正：有限扩张 $\Rightarrow$ 每个元素代数；反过来“一切元素代数”不一定推出有限扩张，除非还要求有限生成等条件。

6. 极小多项式

6.1 定义

设 $E / F$ 是扩域， $α \in E$ 是代数元。所有使 $α$ 为根的多项式构成理想：

I_{α} = {f \in F [x] ∣ f (α) = 0}

由于 $F [x]$ 是 PID，所以

I_{α} = (p_{α} (x))

其中 $p_{α} (x)$ 可取为首一多项式。称 $p_{α} (x)$ 为 $α$ 在 $F$ 上的极小多项式，记作

m_{α, F} (x)

6.2 等价刻画

$p_{α} (x)$ 是 $α$ 在 $F$ 上的极小多项式，当且仅当：

$p_{α} (α) = 0$ ；
$p_{α}$ 首一；
$p_{α}$ 在所有使 $α$ 为根的非零多项式中次数最小；
$p_{α}$ 在 $F [x]$ 中不可约。

6.3 为什么极小多项式不可约

反设

p_{α} (x) = g (x) h (x)

且 $de g g, de g h > 0$ 。代入 $α$ 得

0 = p_{α} (α) = g (α) h (α)

由于 $E$ 是域，故无零因子，所以

g (α) = 0 或 h (α) = 0

这与 $p_{α}$ 的次数最小性矛盾。故 $p_{α}$ 不可约。

6.4 根与理想的关系

若 $f (α) = 0$ ，则

p_{α} (x) ∣ f (x)

原因是 $I_{α} = (p_{α})$ ，所有使 $α$ 为根的多项式都是 $p_{α}$ 的倍数。

7. 单代数扩张

7.1 定义

若 $E / F$ 是扩域， $α \in E$ 是代数元，则 $F (α) / F$ 称为单代数扩张。

7.2 核心定理

设 $α$ 是 $F$ 上代数元，极小多项式为

p_{α} (x)

且

de g p_{α} = d

则

F (α) = F [α]

并且

[F (α) : F] = d

更具体地，

F (α) = {a_{0} + a_{1} α + \dots + a_{d - 1} α^{d - 1} ∣ a_{i} \in F}

且

{1, α, \dots, α^{d - 1}}

是 $F (α)$ 在 $F$ 上的一组基。

证明

定义代入同态：

φ : F [x] \to F [α], f (x) \mapsto f (α)

则 $φ$ 是满同态，且

ker φ = I_{α} = (p_{α})

由环同构定理：

F [x] / (p_{α}) ≅ F [α]

因为 $p_{α}$ 在 $F [x]$ 中不可约，而 $F [x]$ 是 PID，所以 $(p_{α})$ 是极大理想，故

F [x] / (p_{α})

是域。因此 $F [α]$ 本身就是域。由于 $F (α)$ 是包含 $F [α]$ 的最小域，得到

F (α) = F [α]

又由带余除法，每个陪集都有唯一代表元

r (x), de g r < d

所以每个元素都可唯一写为

a_{0} + a_{1} α + \dots + a_{d - 1} α^{d - 1}

故扩张次数为 $d$ 。

例子

Q (32)

中， $32$ 的极小多项式是

x^{3} - 2

由 Eisenstein 判别法， $x^{3} - 2$ 在 $Q [x]$ 中不可约，所以

[Q (32) : Q] = 3

一组基为

{1, 32, (32)^{2}}

例子：加入三次单位根

令

ω = e^{2 πi /3}

则

ω^{2} + ω + 1 = 0

所以

[Q (ω) : Q] = 2

一组基为

{1, ω}

因此

[Q (32, ω) : Q] = [Q (32, ω) : Q (ω)] \cdot [Q (ω) : Q]

这里通常为

3 \cdot 2 = 6

原因是 $x^{3} - 2$ 在 $Q (ω)$ 上仍不可约，等价于 $32 \in / Q (ω)$ 。

修正：计算这种复合扩张次数时不能只把两个次数直接相乘，必须检查后一层的极小多项式在中间域上是否仍不可约。

8. 常见修正与原因

修正 1：content 不是“最大系数”

c (f) = g cd (a_{0}, \dots, a_{n})

原因：UFD 中讨论的是整除结构，不是大小顺序。

修正 2：Eisenstein 中 $p$ 要不可约

在 $Z$ 中通常说 $p$ 是素数；在一般 UFD 中应说 $p$ 是不可约元/素元。条件是：

p ∣ a_{0}, \dots, a_{n - 1}, p ∤ a_{n}, p^{2} ∤ a_{0}

修正 3： $F [α]$ 和 $F (α)$ 不总相等

若 $α$ 代数，则

F [α] = F (α)

若 $α$ 超越，则一般

F [α] \neq = F (α)

例如：

F [x] \neq = F (x)

修正 4：极小多项式必须首一

极小多项式通常规定为首一不可约多项式。若只说“次数最小”，还差一个单位倍数的不唯一性。

修正 5：有限扩张推出代数，但代数不一定有限

[E : F] < \infty ⟹ E / F 代数

反方向一般不成立。

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近世代数讲义

Lec 01

1. 集合论

1.1 集合运算

1.2 映射

1.3 关系与等价关系

2. 群论

2.1 群的定义

2.2 例子与基本性质

Lec 02

3. 群的阶与幂

4. 元素的阶

5. 子群

6. 陪集与拉格朗日定理

7. 欧拉定理与费马小定理

8. 群同态

核与像是子群

9. 循环群的同构

10. 自同构

Lec 03

1. 生成子群（Generated Subgroup）

定义

2. 循环群（Cyclic Group）

定义与两种情形

情形①：o(α)=∞（无限循环群）

情形②：o(α)=n（有限循环群）

3. 循环群中元素的阶

核心公式

生成元的刻画

4. 循环群的子群结构

定理 1（无限循环群）

定理 2（有限循环群）

生成元总结

5. 循环群的自同构群

6. 应用：离散对数问题与 ElGamal 加密

7. 正规子群（Normal Subgroup）

商群的构造动机

定义

商群

8. 同态基本定理（First Isomorphism Theorem）

ker(f) 是正规子群

定理

9. 同态基本定理的例子

例 1

例 2

知识结构总览

Lec 04

1. 基本定义

2. 对称群与置换群

3. 轮换与对换

3.1 轮换（Cycle）

3.2 对换（Transposition）

3.3 生成元集 (1,2), (1,3), ⋯, (1,n)

4. 奇偶置换

4.1 定义

4.2 奇偶性是良定义的

5. 交错群

5.1 定义

5.2 ∣An​∣=n!/2

5.3 An​⊴Sn​

6. 指数为 2 的子群必为正规子群

7. 单群与 An​ 的结构定理

7.1 单群

7.2 结论

8. 关于在集合上的作用

置换表示诱导群作用

群作用诱导置换表示

忠实表示的判定

置换表示与群作用的等价性

例1：右乘逆元的置换表示

例2：左乘的置换表示（Cayley 表示）

知识结构总览

Lec 05

群在自身上的作用

左乘表示

右乘逆元表示

像是子群

Cayley 定理

情形①： $o (α) = \infty$ （无限循环群）

情形②： $o (α) = n$ （有限循环群）

3.3 生成元集 $(1, 2), (1, 3), \dots, (1, n)$

5.2 $∣ A_{n} ∣ = n! /2$

5.3 $A_{n} ⊴ S_{n}$

7. 单群与 $A_{n}$ 的结构定理

$M$ 的正规化子

$G$ 在共轭子群集合上的作用

$p$ -群定理

例： $Z_{2} \oplus Z_{3} ≅ Z_{6}$

例一： $∣ G ∣ = 8$ 的阿贝尔群

例二： $∣ G ∣ = 36$ 的阿贝尔群

$U (R)$ 的定义

例子： $U (Z_{n})$

经典的域：有理数域与 $Z_{p}$