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1. 置换的分解与奇偶性

将下面置换写成不相交轮换的乘积，再表示为对换的乘积，并给出该置换的奇偶性。

(1) $\left(\begin{array}{cccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ 8& 2& 6& 3& 7& 4& 5& 1\end{array}\right)$

不相交轮换的乘积： (1, 8)(5, 7)(3, 6, 4)
对换的乘积： (1, 8)(5, 7)(3, 4)(3, 6) 偶

(2) $\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 5& 1& 3& 6& 2& 4\end{array}\right)$

不相交轮换的乘积：(1, 5, 2)(4, 6) 对换的乘积: (1, 2)(1, 5)(4, 6) 奇

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2. 置换的共轭计算

对以下置换 $\sigma ,\tau$，计算 $\tau \sigma {\tau }^{-1}$。

$\sigma =(1,3,5,6)$, $\tau =(2,5,4,6)$ ${\tau }^{-1}=(6,4,5,2)$ $\tau \sigma {\tau }^{-1}=(1,3,4,2)$

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3. 证明题：置换与对换乘积的轮换数

课堂上已证：对任意 $\sigma \in S_n$，对任意对换 $(i,j)$，当 $i,j$ 分别处于 $\sigma$ 的两个不同轮换，且该两个轮换分别含有两个以上元素时，$(i,j)\circ \sigma$ 的轮换数比 $\sigma$ 的轮换数少 1 个。本题考虑以下特殊情形： 证明： 在上述情形下，$(i,j)\circ \sigma$ 的轮换数仍比 $\sigma$ 的轮换数少 1。

(1) $i,j$ 分别处于 $\sigma$ 的两个不同轮换，且其中一个轮换只有一个元素（例如该轮换就是 $(i)$，另一轮换含有两个以上元素。

不妨设$\sigma =(i)(a...x,j,y,...,b)$ 在此省略不含i、j元素的轮换（因为不会影响最终结果） $(i,j)\circ \sigma =(i,j)(i)(a...x,j,y,...,b)=(a...x,i,j,y,...,b)$
因此符合$(i,j)\circ \sigma$ 的轮换数仍比 $\sigma$ 的轮换数少 1。

(2) $i,j$ 分别处于 $\sigma$ 的两个不同轮换，且该两轮换为 $(i)$ 和 $(j)$。

这种情况下由于有$(i,j)(i)(j)=(i,j)(i,j)$ 所以仍满足少1的定理

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4. 证明题：群作用

设 $\mathbb{R}$ 是实数加群，定义映射 $\mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$：对任意 $r\in \mathbb{R},(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$，有 $(r,(x,y))⟶r(x,y)$，这里定义：

$r(x,y)\stackrel{\text{def}}{=}(x+ry,y)$

证明： 该映射是 $\mathbb{R}$ 对 ${\mathbb{R}}^2$ 的作用

1. 首先对任意 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$，验证 $0\cdot (x,y)=(x,y)$： $0\cdot (x,y)=(x+0\cdot y,y)=(x+0,y)=(x,y)$
2. 其次对任意 $r,s\in \mathbb{R}$ 和 $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$，验证 $(r+s)\cdot (x,y)=r\cdot (s\cdot (x,y))$：

左边： $(r+s)\cdot (x,y)=(x+(r+s)y,y)=(x+ry+sy,y)$右边： $r\cdot (s\cdot (x,y))=r\cdot (x+sy,y)=((x+sy)+ry,y)=(x+sy+ry,y)$ 显然有：$x+ry+sy=x+sy+ry$ 所以左边=右边，得证