hw 08

1. 理想和、理想积的生成元

题目

设 $R$ 是含 $1$ 交换环，

$$I=⟨a_1,\cdots ,a_m⟩,J=⟨b_1,\cdots ,b_n⟩,$$

证明：

1. $I+J=⟨a_1,\cdots ,a_m,b_1,\cdots ,b_n⟩;$
2. $IJ=⟨a_1{b}_1,a_1{b}_2,\cdots ,a_1{b}_n,\cdots ,a_m{b}_1,\cdots ,a_m{b}_n⟩.$

解答

记

$$K=⟨a_1,\cdots ,a_m,b_1,\cdots ,b_n⟩.$$

（1）证明 $I+J=K$

因为 $a_i\in I\subseteq I+J$，$b_j\in J\subseteq I+J$，所以 $K$ 的所有生成元都在 $I+J$ 中。由于 $I+J$ 是理想，因此

$$K\subseteq I+J.$$

另一方面，由于 $K$ 包含所有 $a_i$，所以

$$I=⟨a_1,\cdots ,a_m⟩\subseteq K.$$

同理，

$$J=⟨b_1,\cdots ,b_n⟩\subseteq K.$$ $$I+J\subseteq K.$$

综上有，

$$I+J=⟨a_1,\cdots ,a_m,b_1,\cdots ,b_n⟩.$$

（2）证明 $IJ=⟨a_i{b}_j:1\le i\le m,1\le j\le n⟩$

记

$$L=⟨a_i{b}_j:1\le i\le m,1\le j\le n⟩.$$

因为 $a_i\in I$ 且 $b_j\in J$，所以 $a_i{b}_j\in IJ$。因此 $L$ 的所有生成元都属于 $IJ$，从而

$$L\subseteq IJ.$$

反过来，任取 $IJ$ 中的一个元素，它可以写成有限和

$$\sum _t{x}_t{y}_t,x_t\in I,y_t\in J.$$

由于

$$x_t=\sum _{i=1}^m{r}_{ti}{a}_i,y_t=\sum _{j=1}^n{s}_{tj}{b}_j,$$

其中 $r_{ti},s_{tj}\in R$，并且 $R$ 是交换环，所以

$$x_t{y}_t=\left(\sum _{i=1}^m{r}_{ti}{a}_i\right)\left(\sum _{j=1}^n{s}_{tj}{b}_j\right)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{r}_{ti}{s}_{tj}{a}_i{b}_j\in L.$$

因此每个 $x_t{y}_t\in L$，有限和也在 $L$ 中，所以

$$IJ\subseteq L.$$

综上，

$$IJ=⟨a_1{b}_1,a_1{b}_2,\cdots ,a_1{b}_n,\cdots ,a_m{b}_1,\cdots ,a_m{b}_n⟩.$$

---

2. $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中的非主理想

题目

在环 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中，设

$$\alpha =⟨3,1+\sqrt{-5}⟩,$$

证明：$\alpha$ 不是主理想。

解答

令

$$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}],s=\sqrt{-5}.$$

定义范数

$$N(a+bs)=a^2+5b^2,$$

其中 $a,b\in \mathbb{Z}$。这个范数满足乘法性：

$$N(xy)=N(x)N(y).$$

反设 $\alpha$ 是主理想，即存在 $\beta \in R$，使得

$$\alpha =(\beta ).$$

由于

$$3\in \alpha ,1+s\in \alpha ,$$

所以 $\beta$ 同时整除 $3$ 和 $1+s$。于是 $N(\beta )$ 同时整除

$$N(3)=9$$

和

$$N(1+s)=1^2+5\cdot 1^2=6.$$

因此

$$N(\beta )\mid \gcd (9,6)=3.$$

所以只可能有

$$N(\beta )=1\text{或}N(\beta )=3.$$

如果 $N(\beta )=1$，则 $\beta$ 是单位，从而

$$(\beta )=R,$$

即 $\alpha =R$。但 $\alpha$ 是真理想。事实上，定义环同态

$$\phi :R\to {\mathbb{F}}_3,\phi (a+bs)=a-b(\mathrm{mod}3).$$

因为在 ${\mathbb{F}}_3$ 中有

$$(-1{)}^2=1\equiv -5(\mathrm{mod}3),$$

所以这是良定义的环同态。并且

$$\phi (3)=0,\phi (1+s)=1-1=0.$$

所以

$$\alpha \subseteq \ker \phi .$$

但

$$\phi (1)=1\ne 0,$$

因此 $1\notin \alpha$，故 $\alpha \ne R$。这与 $N(\beta )=1$ 矛盾。

如果 $N(\beta )=3$，设

$$\beta =a+bs.$$

则

$$N(\beta )=a^2+5b^2=3.$$

但这个方程没有整数解：若 $b\ne 0$，则 $5b^2\ge 5>3$；若 $b=0$，则需要 $a^2=3$，也不可能。

两种情况均矛盾，因此 $\alpha$ 不是主理想。

---

3. ${\mathbb{Z}}_6$ 和 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 的素理想与极大理想

题目

找出 ${\mathbb{Z}}_6$ 和 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 的所有素理想和极大理想。

解答

一般地，${\mathbb{Z}}_n$ 的所有理想都形如

$$(d)=\{\overline{kd}:k\in \mathbb{Z}\},$$

其中 $d\mid n$。并且

$${\mathbb{Z}}_n/(d)\cong {\mathbb{Z}}_d.$$

因此，$(d)$ 是素理想当且仅当 ${\mathbb{Z}}_d$ 是整环；$(d)$ 是极大理想当且仅当 ${\mathbb{Z}}_d$ 是域。对 ${\mathbb{Z}}_d$ 而言，这两个条件都等价于 $d$ 是素数。

所以在 ${\mathbb{Z}}_n$ 中，素理想和极大理想都对应于 $n$ 的素因子。

${\mathbb{Z}}_6$ 的所有理想

因为 $6$ 的正因子为

$$1,2,3,6,$$

所以 ${\mathbb{Z}}_6$ 的所有理想为

$$(1)={\mathbb{Z}}_6=\{0,1,2,3,4,5\},$$ $$(2)=\{0,2,4\},$$ $$(3)=\{0,3\},$$ $$(6)=(0)=\{0\}.$$

其中素理想为

$$(2),(3).$$

极大理想也为

$$(2),(3).$$

${\mathbb{Z}}_{12}$ 的所有理想

因为 $12$ 的正因子为

$$1,2,3,4,6,12,$$

所以 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 的所有理想为

$$(1)={\mathbb{Z}}_{12}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\},$$ $$(2)=\{0,2,4,6,8,10\},$$ $$(3)=\{0,3,6,9\},$$ $$(4)=\{0,4,8\},$$ $$(6)=\{0,6\},$$ $$(12)=(0)=\{0\}.$$

其中素理想为

$$(2),(3).$$

极大理想也为

$$(2),(3).$$

---

4. 欧氏环上的欧几里得算法与最大公约数计算

题目

查询文献，阅读欧氏环上的欧几里得算法，求 $22471$ 和 $3266$ 的最大公约数，并给出计算过程。

解答

在欧氏环中，存在一个欧氏函数 $\delta$。对任意 $a,b\in R$ 且 $b\ne 0$，可以作带余除法：

$$a=qb+r,$$

其中 $r=0$ 或

$$\delta (r)<\delta (b).$$

不断重复带余除法，由于余数的欧氏函数值严格下降，算法会终止。最后一个非零余数就是最大公因子。整数环 $\mathbb{Z}$ 是欧氏环，可以取

$$\delta (a)=|a|.$$

对 $22471$ 和 $3266$ 使用欧几里得算法：

$$22471=6\cdot 3266+2875,$$ $$3266=1\cdot 2875+391,$$ $$2875=7\cdot 391+138,$$ $$391=2\cdot 138+115,$$ $$138=1\cdot 115+23,$$ $$115=5\cdot 23+0.$$

最后一个非零余数是 $23$，因此

$$\gcd (22471,3266)=23.$$

如果需要写成贝祖等式，可以反向代入：

$$23=138-115,$$ $$23=138-(391-2\cdot 138)=3\cdot 138-391,$$ $$23=3(2875-7\cdot 391)-391=3\cdot 2875-22\cdot 391,$$ $$23=3\cdot 2875-22(3266-2875)=25\cdot 2875-22\cdot 3266,$$ $$23=25(22471-6\cdot 3266)-22\cdot 3266.$$

所以

$$23=25\cdot 22471-172\cdot 3266.$$

最终答案为

$$\gcd (22471,3266)=23.$$