近世代数作业 7：环与理想
1. 证明：I 是 Zn 的理想 ⟺I 是 Zn 的加法子群
证明： 必要性显然。充分性上，设 I 是 (Zn,+) 的子群，则对任意 r∈Zn 及 a∈I，由于 Zn 是由单位元 1 生成的循环群，可记 r=k⋅1 (k∈Z)。则 ra=(k⋅1)a=k⋅a，即 k 个 a 相加。根据加法子群的封闭性，k⋅a∈I 恒成立，满足理想的吸收律，故 I 是 Zn 的理想。
2. 求 Z6 的所有理想
解：
根据第 1 题结论，Z6 的理想与其加法子群一致。Z6 作为 6 阶循环群，其子群阶数为 6 的因子（1, 2, 3, 6）。对应的理想分别为：
- I1={[0]}
- I2=⟨[3]⟩={[0],[3]}
- I3=⟨[2]⟩={[0],[2],[4]}
- I4=Z6
3. 整数环 Z 的理想运算
证明：
(1) x∈⟨a⟩∩⟨b⟩⟺a∣x 且 b∣x，即 x 为 a,b 的公倍数。由最小公倍数定义，这等价于 x 是 [a,b] 的倍数，故 ⟨a⟩∩⟨b⟩=⟨[a,b]⟩。
(2) 依据裴蜀定理，存在 m,n∈Z 使 ma+nb=(a,b)，故 (a,b)∈⟨a⟩+⟨b⟩。又因 (a,b) 整除 a 和 b，则 a,b∈⟨(a,b)⟩，由理想封闭性知 ⟨a⟩+⟨b⟩⊆⟨(a,b)⟩。综上有 ⟨a⟩+⟨b⟩=⟨(a,b)⟩。
4. 证明：若 a+b−5∈I=⟨3,1+−5⟩，则 3∣(a−b)
证明：
设 x=a+b−5∈I，则 x 可表示为 3(u+v−5)+(1+−5)(s+t−5)。
展开得 x=(3u+s−5t)+(3v+s+t)−5。
对比系数知 a=3u+s−5t，b=3v+s+t。
作差得 a−b=3u−3v−6t=3(u−v−2t)，显然 3∣(a−b)。