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集合论

集合运算

集合的直积（笛卡尔积）：

$$A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}.$$

多个集合的直积：

$$A_1\times \cdots \times A_n=\{(a_1,\dots ,a_n)\mid a_i\in A_i(1\le i\le n)\}.$$

一般的直积（指标集 $I$）：

$$\prod _{i\in I}{A}_i=\{(a_i{)}_{i\in I}\mid \forall i\in I,a_i\in A_i\}.$$

集合的并、交、差与补：

$$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{或}x\in B\},A\cap B=\{x\mid x\in A\text{且}x\in B\},$$ $$A\setminus B=\{x\mid x\in A,x\notin B\},A^c=U\setminus A.$$

德摩根律（相对全集 $U$）：

$$(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c,(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c.$$

幂集：

$$\mathcal{P}(A)=\{X\mid X\subseteq A\},|\mathcal{P}(A)|=2^{|A|}.$$

映射

映射与像、原像：

$$f:A\to B,f(A)=\{f(a)\mid a\in A\},$$ $$f^{-1}(Y)=\{x\in A\mid f(x)\in Y\}(Y\subseteq B).$$

映射的合成：

$$g:B\to C,(g\circ f):A\to C,(g\circ f)(a)=g(f(a)).$$

满足结合律：

$$h:C\to D,h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$$

恒等映射：

$${\mathrm{id}}_A:A\to A,{\mathrm{id}}_A(a)=a,f\circ {\mathrm{id}}_A=f,{\mathrm{id}}_B\circ f=f.$$

单射、满射、双射：

$$f\text{单射}⟺(\forall a_1,a_2\in A,f(a_1)=f(a_2)\Rightarrow a_1=a_2),$$ $$f\text{满射}⟺(\forall b\in B,\exists a\in A,f(a)=b),f\text{双射}⟺f\text{单射且满射}.$$

逆映射（仅对双射）：

$$f^{-1}:B\to A,f^{-1}(b)=a⟺f(a)=b,$$ $$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_A,f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_B.$$

原像与集合运算（ $Y_1,Y_2\subseteq B$ ）：

$$f^{-1}(Y_1\cup Y_2)=f^{-1}(Y_1)\cup f^{-1}(Y_2),f^{-1}(Y_1\cap Y_2)=f^{-1}(Y_1)\cap f^{-1}(Y_2),$$ $$f^{-1}(B\setminus Y)=A\setminus f^{-1}(Y).$$

引理1（合成满足结合律）： 设

$$f:A\to B,g:B\to C,h:C\to D,$$

则

$$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$$

简证：任取 $a\in A$，有

$$(h\circ (g\circ f))(a)=h(g(f(a)))=((h\circ g)\circ f)(a).$$

对一切 $a\in A$ 成立，故两映射相等。

引理2（可逆映射判别）： 映射 $f:A\to B$ 为一一对应的充要条件是存在映射 $g:B\to A$，使

$$f\circ g={\mathrm{id}}_B,g\circ f={\mathrm{id}}_A.$$

证明： 充分性：若 $f$ 为一一对应，则对每个 $b\in B$，存在唯一 $a\in A$ 使 $f(a)=b$（存在性来自满射，唯一性来自单射）。据此定义

$$g:B\to A,g(b)=a⟺f(a)=b.$$

即 $g=f^{-1}$。于是对任意 $a\in A,b\in B$，有

$$(g\circ f)(a)=g(f(a))=a,(f\circ g)(b)=f(g(b))=b,$$

从而

$$g\circ f={\mathrm{id}}_A,f\circ g={\mathrm{id}}_B.$$

必要性：反设 $f$ 不是一一对应。 若 $f$ 非满射，则存在 $b_0\in B$ 满足 $f^{-1}(b_0)=\varnothing$，即对所有 $a\in A$ 都有 $f(a)\ne b_0$。因此对任意映射 $g:B\to A$，

$$(f\circ g)(b_0)=f(g(b_0))\ne b_0,$$

故 $f\circ g\ne {\mathrm{id}}_B$。 若 $f$ 非单射，则存在 $a_1\ne a_2$ 使 $f(a_1)=f(a_2)=b_1$。因此对任意映射 $g:B\to A$，

$$(g\circ f)(a_1)=g(b_1)=(g\circ f)(a_2),$$

故 $g\circ f\ne {\mathrm{id}}_A$。 所以只要同时满足

$$f\circ g={\mathrm{id}}_B,g\circ f={\mathrm{id}}_A,$$

就必有 $f$ 既满且单，即 $f$ 为一一对应。证毕。

关系与等价关系

等价关系和划分可以互推 证明等价关系⇒ 证明三个性质

1. 二元关系：

$$R\subseteq A\times A,aRb⟺(a,b)\in R.$$

2. 等价关系（自反、对称、传递）：

$$\forall a\in A,a\sim a;a\sim b\Rightarrow b\sim a;a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c.$$

3. 等价类与商集：

   1. $[a]$ 表示a的等价类

[a]={x\in A\mid x\sim a}$$ 可以通过等价类对A进行划分 ：$[a_1],[a_2],[a_3]...[a_n],...$ 等价类中的任意一个元素均可作为代表元 $[a_i]\cap [a_j]=\varnothing$

2. 商集$\quad A/{\sim}=\{[a]\mid a\in A\}.$

例子 n $\in$ $Z^{\ast }$ $n|a-b\Rightarrow a\sim b$ $n|a-b\&n|b-c\Rightarrow n|a-c$

0，1，2，… , n-1 称为完全代表系/模n剩余类 用 $Z_n=[0],[1],...[n-1]$表示

群论

群的定义：一个非空集合 G 连同一个二元运算 $\cdot$ GxG ⇒ G 称为群 群$(G,\cdot )$满足的性质：

• 封闭性: $\forall a,b\in G,ab\in G$
• 结合律: $\forall a,b,c\in G,(ab)c=a(bc)$
• 幺元: $\exists e\in G,\forall a\in G,ea=ae=a$
  • 常见幺元，1（乘法）；0（加法）
• 逆元: $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,a{a}^{-1}=a^{-1}a=e$
  • 常见逆元写法：$a^{-1}(乘法)；-a（加法）$

验证群就验证后三条 $(Z_n^{\ast },\cdot )$ 是一个群 定义： $Z_n^{\ast }=\{\bar{a}\in Z_n|(a,n)=1\}$ 若n为素数，则 $Z_n^{\ast }=Z_n\setminus \{\bar{0}\}$ 欧拉函数$\phi (n)$ = {1,2,…,n}中与n互素的数的个数 对任意正整数 ($n\ge 1$)，欧拉函数 ($\phi (n)$) 定义为：

$$\phi (n)=\#\{k\in \mathbb{Z}\mid 1\le k\le n,\gcd (k,n)=1\}.$$

Comments

1. 逆元唯一
2. 幺元唯一
3. 满足交换律(阿贝尔群) 阿贝尔群：若满足 $\forall a,b\in G,a\cdot b=b\cdot a$，则称为阿贝尔群（交换群）。 证明： 设 $(G,\cdot )$ 为群。

1. 逆元唯一

命题： 对任意 $a\in G$，其逆元唯一。

证明：
设 $b,c\in G$ 都是 $a$ 的逆元，即

$$a\cdot b=b\cdot a=e,a\cdot c=c\cdot a=e.$$

则有

$$b=b\cdot e=b\cdot (a\cdot c)=(b\cdot a)\cdot c=e\cdot c=c.$$

因此 $b=c$，逆元唯一。$\square$

2. 幺元（单位元）唯一

命题： 群 $(G,\cdot )$ 的单位元唯一。

证明：
设 $e,e^{\prime }\in G$ 都是单位元，即对任意 $a\in G$，

$$e\cdot a=a\cdot e=a,e^{\prime }\cdot a=a\cdot e^{\prime }=a.$$

取 $a=e^{\prime }$，由 $e$ 为单位元得

$$e\cdot e^{\prime }=e^{\prime }.$$

取 $a=e$，由 $e^{\prime }$ 为单位元得

$$e^{\prime }\cdot e=e.$$

又因 $e^{\prime }$ 为单位元，对 $a=e$ 有 $e^{\prime }\cdot e=e$，而 $e$ 为单位元对 $a=e^{\prime }$ 有 $e\cdot e^{\prime }=e^{\prime }$，于是

$$e=e^{\prime }\cdot e=e,\text{并且}{e}^{\prime }=e\cdot e^{\prime }=e^{\prime }.$$

更直接地，由 $e^{\prime }$ 为单位元可得

$$e=e^{\prime }\cdot e,$$

而由 $e$ 为单位元可得

$$e^{\prime }\cdot e=e^{\prime }.$$

两式合并即 $e=e^{\prime }$。故单位元唯一。$\square$

3. 满足交换律（阿贝尔群的判定）

说明：在“群”的定义中不要求交换律。
若额外满足交换律，则称该群为阿贝尔群

tbc

交换群：

$$\forall a,b\in G,ab=ba.$$

子群判别（$H\le G$）：

$$H\ne \varnothing ,\forall a,b\in H,a{b}^{-1}\in H\Rightarrow H\le G.$$

循环子群与元素阶：

$$⟨a⟩=\{a^n\mid n\in \mathbb{Z}\},|a|=\min \{n\in {\mathbb{N}}_{>0}\mid a^n=e\}(\text{若存在}).$$

群同态：

$$\phi :G\to H,\phi (ab)=\phi (a)\phi (b).$$

核与像：

$$\ker \phi =\{g\in G\mid \phi (g)=e_H\},\mathrm{im}\phi =\phi (G)=\{\phi (g)\mid g\in G\}.$$

基本性质：

$$\phi (e_G)=e_H,\phi (a^{-1})=\phi (a{)}^{-1}.$$

陪集与指数（有限时）：

$$aH=\{ah\mid h\in H\},Ha=\{ha\mid h\in H\},[G:H]=\frac{|G|}{|H|}.$$

正规子群与商群：

$$N⊴G⟺(\forall g\in G,gN{g}^{-1}=N).$$

若 $N⊴G$，则商群 $G/N$ 的乘法为

$$(gN)(hN)=(gh)N.$$

第一同构定理：

$$G/\ker \phi \cong \mathrm{im}\phi .$$