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环、域 定义： 非空集合R联通两个二元运算+、✖️：R✖️R→R称为环，如果以下满足：

1. （R，+）是阿贝尔群
2. 结合律
3. 分配律 Comments： 幺元为0 如果存在一个 $e\in R\forall \alpha \in R$ 则称为含1环 如果乘法有交换律则称为交换环 e乘法幺元即为1 (Z，+，\dot)幺元为1 例子：左边不是环，右边是环并给出证明 推导一些基本定理 n $\alpha$表示n个\alpha相加 给出左邻因子和右邻因子的定义 如果 \alpha即是左邻因子又是右邻因子则称为邻因子 若R交换（为交换环），则零因子 例子：(Z,+ ,\cdot) 则 2 是零因子 主题：环中的单位与可逆性 (Units and Invertibility)

1. 前提条件

设 $(R,+,\cdot )$ 是一个含幺环（即存在乘法幺元 $1$）。

2. 定义：左/右可逆

对于环中的任意元素 $u\in R$：

• 右可逆 (Right Invertible)：

  如果存在一个元素 $v\in R$，满足：

  $u\cdot v=1$

  则称 $u$ 是右可逆的，此时 $v$ 称为 $u$ 的一个右逆元。

• 左可逆 (Left Invertible)：

  如果存在一个元素 $v\in R$，满足：

  $v\cdot u=1$

  则称 $u$ 是左可逆的，此时 $v$ 称为 $u$ 的一个左逆元。

3. 定义：可逆元/单位 (Unit)

若元素 $u$ 既是左可逆又是右可逆的，则称 $u$ 为环 $R$ 的一个单位（Unit，注意不要和“单位元”混淆）或可逆元。

老师正在书写的关键推导：

如果 $u$ 既有左逆元 $v_1$ ($v_{1}u=1$)，又有右逆元 $v_2$ ($u{v}_2=1$)，那么：

$v_1=v_1\cdot 1=v_1(u{v}_2)=(v_{1}u)v_2=1\cdot v_2=v_2$

结论： 若一个元素可逆，其逆元是唯一的，记作 $u^{-1}$。

4. 术语区分（易错点）

老师在黑板上特别用括号标注了：

• 单位元 (Identity)： 指的是环中唯一的 $1$。

• 单位 (Unit)： 指的是所有具有逆元的元素（例如在整数环 $\mathbb{Z}$ 中，单位只有 $1$ 和 $-1$）。

Comments：

1. u的左逆右逆相同
2. 交换环：左逆=右逆
3. u有可能有两个不同的左逆

定义：R为含1交换，无零因子，称为整环，domain R = {0} 称为0环 给出域的定义 给出U(R)的定义：R中所有unit集合，关于 \cdot 是群 例子， U(Z_n)

给出经典的域：有理数域、Z_p 复数相关的域的例子： 环同态 定义： f：R→S f称为环同态，如果： 3. R、S含1；f满；f（1）=1 u \in U(R) f(u^{-1}) = f(u)^{-1} 4. f（R）是S的子环 5. f单；f是嵌入 6. f: R→R的同构 R同构于f（R）=f（\alpha \beta）， a、b \in f(R) 给出子环子域扩域的概念 例子：Z是Q的子环；Z是Z[r]的子环 环的特征 定义：R 存在m>0,s.t. m \cdot r=0 $\forall r\in R$ 把最小的m>0 记为R的特征 char（R） 否则，记char（R）=0 注意到，char（Z）=0 Z_n：char(Z_n) = n 定义，R含1 存在m>0,s.t m $\cdot$ 1 = 0把最小的m>0记为char（R） 定理：R是整环，char(R)不等于0，则char(R) = P 推论： 域→整环