hw11

1. 证明 $f(x)=x^2+x+2$ 在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约

由于这是二次多项式，只需证明它在 $\mathbb{Q}$ 中没有根。判别式为：

$$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot 2=-7$$

因为 $-7$ 不是有理数平方，所以 $f(x)$ 没有有理根。因此：

$$x^2+x+2$$

在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。

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2. 证明 $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$

设：

$$\alpha =\sqrt{2}+\sqrt{3}$$

显然 $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$，故：

$$\mathbb{Q}(\alpha )\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$$

另一方面：

$${\alpha }^2=5+2\sqrt{6}$$

因此：

$$\sqrt{6}=\frac{{\alpha }^2-5}{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$$

又因为：

$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1$$

所以：

$$\sqrt{3}-\sqrt{2}=\frac{1}{\alpha }\in \mathbb{Q}(\alpha )$$

于是：

$$\sqrt{3}=\frac{\alpha +\frac{1}{\alpha }}{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$$ $$\sqrt{2}=\frac{\alpha -\frac{1}{\alpha }}{2}\in \mathbb{Q}(\alpha )$$

故：

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\subseteq \mathbb{Q}(\alpha )$$

因此：

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})=\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$$

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3. 令 $\alpha =\sqrt[3]{3}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$，求 $\min (\alpha ,\mathbb{Q})$ 和 $[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]$

设：$t=\sqrt[3]{3}$ 则：$\alpha =t+\frac{1}{t}$ 利用恒等式：

$${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^3=t^3+\frac{1}{t^3}+3\left(t+\frac{1}{t}\right)$$

得到：

$${\alpha }^3=3+\frac{1}{3}+3\alpha =\frac{10}{3}+3\alpha$$

即：

$$3{\alpha }^3-9\alpha -10=0$$

因此 $\alpha$ 满足多项式：

$$3x^3-9x-10$$

检验有理根可知其无有理根，因此该三次多项式在 $\mathbb{Q}[x]$ 中不可约。故：

$$\min (\alpha ,\mathbb{Q})=3x^3-9x-10$$

且：

$$[\mathbb{Q}(\alpha ):\mathbb{Q}]=3$$

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4. 求扩张 $\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ 的扩度和一组 $\mathbb{Q}$-基

先考虑：

$$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$$

因为 $\sqrt{2}$ 的极小多项式为：

$$x^2-2$$

故：

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$$

其一组 $\mathbb{Q}$-基为：$\{1,\sqrt{2}\}$ 再考虑：

$$\mathbb{Q}(\sqrt{2})\subset \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$$

由于 $i$ 满足：

$$x^2+1=0$$

且 $i\notin \mathbb{Q}(\sqrt{2})$，因此：

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}(\sqrt{2})]=2$$

其一组 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$-基为：

$$\{1,i\}$$

故总扩张次数：

$$[\mathbb{Q}(\sqrt{2},i):\mathbb{Q}]=2\cdot 2=4$$

一组 $\mathbb{Q}$-基为：

$$\{1,\sqrt{2},i,\sqrt{2}i\}$$

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5. 证明 $F(\alpha )\cong F[x]/⟨p(x)⟩$

定义映射：

$$\phi :F\to F(\alpha )$$

满足：

$$\phi (f(x))=f(\alpha )$$

这是一个环同态。由于 $F(\alpha )$ 中任意元素都可以表示为：

$$a_0+a_1\alpha +\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1}$$

因此 $\phi$ 为满射。接下来求核：

$$\ker \phi =f(x)\in F[x]\mid f(\alpha )=0$$

由于 $p(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，因此：

$$f(\alpha )=0⟺p(x)\mid f(x)$$

故：

$$\ker \phi =⟨p(x)⟩$$

由环同构定理：

$$F[x]/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$$

于是：

$$F[x]/⟨p(x)⟩\cong F(\alpha )$$