hw10

1. 多项式长除法

题目： 使用长除法，对 ${\mathbb{Z}}_7[x]$ 中的 $f(x)=x^6+3x^5+4x^2-3x+2$，$g(x)=x^2+2x-3$，计算欧氏除法算式中的 $q(x)$ 和 $r(x)$。

计算如下：

1. 消去 $x^6$： 商第一项为 $x^4$ $(x^6+3x^5+4x^2+4x+2)-x^4(x^2+2x-3)=x^5+3x^4+4x^2+4x+2$

2. 消去 $x^5$： 商第二项为 $x^3$ $(x^5+3x^4+4x^2+4x+2)-x^3(x^2+2x-3)=x^4+3x^3+4x^2+4x+2$

3. 消去 $x^4$： 商第三项为 $x^2$ $(x^4+3x^3+4x^2+4x+2)-x^2(x^2+2x-3)=x^3+7x^2+4x+2\equiv x^3+4x+2$

4. 消去 $x^3$： 商第四项为 $x$ $(x^3+4x+2)-x(x^2+2x-3)=-2x^2+7x+2\equiv 5x^2+2$

5. 消去 $5x^2$： 商第五项为 $5$ $(5x^2+2)-5(x^2+2x-3)=-10x+17\equiv 4x+3$

综上答案为： $q(x)=x^4+x^3+x^2+x+5$ $r(x)=4x+3$

2. 多项式因式分解

题目： 已知 ${\mathbb{Z}}_5[x]$ 中多项式 $x^4+4$ 可以分解成一次因式乘积（素因子），求该分解。

在 ${\mathbb{Z}}_5$ 中，$4\equiv -1(\mathrm{mod}5)$，因此多项式可变形为： $x^4+4=x^4-1$ 利用平方差公式进行首次分解： $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ 再分解各项：

1. 对于 $x^2-1$，显然有：$x^2-1=(x-1)(x+1)$
2. 对于 $x^2+1$，在 ${\mathbb{Z}}_5$ 中由于 $1\equiv -4(\mathrm{mod}5)$，可以变形为： $x^2+1=x^2-4=(x-2)(x+2)$ 将所有一次因式组合，并在 ${\mathbb{Z}}_5$ 中将负系数转换为正系数（即 $-1\equiv 4$、$-2\equiv 3$）： $x-1=x+4$ 以及 $x-2=x+3$ 综上答案为：

$x^4+4=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$

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3. 域上多项式导数的性质证明

题目： 设 $K$ 是域，任取 $f(x)\in K[x]$，证明：

1. 当 $K$ 的特征为 $0$ 时，$f^{\prime }(x)=0⟺f(x)\in K$；
2. 当 $K$ 的特征为 $p$ 时，$f^{\prime }(x)=0⟺f(x)=g(x^p)$，对某个 $g(x)\in K[x]$。

证明：

设 $f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，其形式导数为： $f^{\prime }(x)={\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i{x}^{i-1}=a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}$ 要使 $f^{\prime }(x)=0$，当且仅当对所有的 $i\ge 1$，都有系数 $i{a}_i=0$。

(1) 当 $\text{char}(K)=0$ 时：

• $⟸$ 充分性： 若 $f(x)\in K$，则 $f(x)=a_0$ 为常数多项式，显然其导数 $f^{\prime }(x)=0$。
• $⟹$ 必要性： 若 $f^{\prime }(x)=0$，则对所有 $i\ge 1$，有 $i{a}_i=0$。因为 $K$ 的特征为 $0$，对于任何正整数 $i$，在域 $K$ 中均有 $i\ne 0$。由于域内无零因子，由 $i{a}_i=0$ 且 $i\ne 0$ 可推得对所有 $i\ge 1$ 都有 $a_i=0$。因此，$f(x)=a_0\in K$。

(2) 当 $\text{char}(K)=p$ 时：

• $⟸$ 充分性： 若 $f(x)=g(x^p)$，设 $g(x)={\sum }_{j=0}^m{b}_j{x}^j$，则 $f(x)={\sum }_{j=0}^m{b}_j(x^p{)}^j={\sum }_{j=0}^m{b}_j{x}^{jp}$。对其求导得：$f^{\prime }(x)={\sum }_{j=1}^m(jp)b_j{x}^{jp-1}$由于 $\text{char}(K)=p$，在域 $K$ 中 $p=0$，从而每个项的系数 $jp=0$。因此 $f^{\prime }(x)=0$。
• $⟹$ 必要性： 若 $f^{\prime }(x)=0$，则对所有 $i\ge 1$，有 $i{a}_i=0$。在特征为 $p$ 的域中，$i{a}_i=0$ 意味着要么 $a_i=0$，要么 $i\equiv 0(\mathrm{mod}p)$（即 $p\mid i$）。因此，只有当 $i$ 是 $p$ 的倍数时，其对应的系数 $a_i$ 才可以不为 $0$。若 $i$ 不是 $p$ 的倍数，则必有 $a_i=0$。这意味着 $f(x)$ 中只包含 $x$ 的 $p$ 的倍数次幂项，可写为：$f(x)=a_0+a_p{x}^p+a_{2p}{x}^{2p}+\cdots +a_{kp}{x}^{kp}$令 $g(x)=a_0+a_{p}x+a_{2p}{x}^2+\cdots +a_{kp}{x}^k\in K[x]$，则显然有 $f(x)=g(x^p)$