hw06

第1题

由 Sylow 定理，任意两个 Sylow $p$ 子群互为共轭。

若 $P⊴G$，则对任意 $g\in G$，

$$gP{g}^{-1}=P,$$

所以任意 Sylow $p$ 子群都等于 $P$，故 $P$ 唯一。

反之，若 $P$ 是唯一的 Sylow $p$ 子群，则对任意 $g\in G$，$gP{g}^{-1}$ 仍是 Sylow $p$ 子群，只能等于 $P$，故

$$gP{g}^{-1}=P,$$

即 $P⊴G$。

因此

$$P\text{ 是唯一 Sylow }p\text{ 子群 }⟺P⊴G.$$

第2题

设 $|G|=pq$，其中 $p<q$。记 Sylow $q$ 子群个数为 $n_q$。由 Sylow 定理，

$$n_q\mid p,n_q\equiv 1(\mathrm{mod}q).$$

因 $n_q\mid p$，故

$$n_q=1\text{或}{n}_q=p.$$

若 $n_q=p$，则 $p\equiv 1(\mathrm{mod}q)$，这与 $p<q$ 矛盾。故

$$n_q=1.$$

所以 Sylow $q$ 子群正规，$G$ 有非平凡真正规子群，因此 $G$ 不是单群。

第3题

在 ${\mathbb{Z}}_{45}$ 中，

$$\mathrm{ord}(40)=\frac{45}{\gcd (45,40)}=\frac{45}{5}=9.$$

在 ${\mathbb{Z}}_{18}$ 中，

$$\mathrm{ord}(12)=\frac{18}{\gcd (18,12)}=\frac{18}{6}=3.$$

所以

$$\mathrm{ord}(40,12)=\mathrm{lcm}(9,3)=9.$$

第4题

$$1089=3^2\cdot 11^2.$$

$3^2$ 阶阿贝尔群有两种：

$${\mathbb{Z}}_9,{\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_3.$$

$11^2$ 阶阿贝尔群有两种：

$${\mathbb{Z}}_{121},{\mathbb{Z}}_{11}\oplus {\mathbb{Z}}_{11}.$$

两两组合得四种：

$${\mathbb{Z}}_{1089},$$ $${\mathbb{Z}}_9\oplus {\mathbb{Z}}_{11}\oplus {\mathbb{Z}}_{11},$$ $${\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_{121},$$ $${\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_3\oplus {\mathbb{Z}}_{11}\oplus {\mathbb{Z}}_{11}.$$