hw05

题目1

设G作用在集合X上，对任意 $a,b\in X$，存在 $g\in G$ 使得 $ga=b$，证明 $G_a=g^{-1}{G}_{b}g$

Proof. let $h\in G_a$，即 $ha=a$。则可以得到： $gh{g}^{-1}\cdot b=gh{g}^{-1}(ga)=gh(a)=ga=b$ 故 $gh{g}^{-1}\in G_b$，即 $h\in g^{-1}{G}_{b}g$，从而 $G_a\subseteq g^{-1}{G}_{b}g$。

反之，若 $h\in G_b$，即 $hb=b$。则有： $g^{-1}hg\cdot a=g^{-1}h(ga)=g^{-1}(hb)=g^{-1}b=a$ 故 $g^{-1}hg\in G_a$，即 $g^{-1}{G}_{b}g\subseteq G_a$。

综上，$G_a=g^{-1}{G}_{b}g$

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题目2

求 $\{1,2,\cdots ,8\}$ 在 $S_8$ 的循环子群 $⟨(1,3,5,6)⟩$ 作用下的轨道数。

Solution.

$⟨(1,3,5,6)⟩=\{e,(1,3,5,6),(1,5)(3,6),(1,6,5,3)\}$，所以群的阶为4。

各元素的轨道：

• $(1,3,5,6)$ 将 $1\to 3\to 5\to 6\to 1$，故 $\text{Orb}(1)=\{1,3,5,6\}$
• $2,4,7,8$ 均不被任何非单位元移动，各自构成单元素轨道

轨道划分为： $\{1,3,5,6\},\{2\},\{4\},\{7\},\{8\}$ 综上，轨道数为 5

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题目3

利用 $|G|=|\text{Stab}(a)|\cdot |\text{Orb}(a)|$，证明：$A$ 的共轭子集个数等于 $(G:N_G(A))$

Proof.

令 $G$ 通过共轭作用于 $X=\{gA{g}^{-1}\mid g\in G\}$（$A$ 的所有共轭子集构成的集合），作用为： $g\cdot B=gB{g}^{-1}$ 取 $a=A\in X$，则：

• $\text{Orb}(A)=\{gA{g}^{-1}\mid g\in G\}$，即 $A$ 的全体共轭子集，其大小就是共轭子集个数
• $\text{Stab}(A)=\{g\in G\mid gA{g}^{-1}=A\}=N_G(A)$（$A$ 的正规化子）

由轨道-稳定子定理： $|G|=|N_G(A)|\cdot |\text{Orb}(A)|$ 故： $|\text{Orb}(A)|=\frac{|G|}{|N_G(A)|}=(G:N_G(A))$ 综上 $A$ 的共轭子集个数等于 $(G:N_G(A))$