hw03

第1题

对 $n=10$，求（加法）循环群 ${\mathbb{Z}}_n$ 的所有生成元和所有子群。

生成元

${\mathbb{Z}}_{10}=0,1,2,\dots ,9$

${\mathbb{Z}}_{10}$ 的生成元集合为所有与 $n=10$ 互素的元素：

$\{a\mid \gcd (a,10)=1\}=1,3,7,9$

所有子群

由于 ${\mathbb{Z}}_{10}=⟨1⟩$ 是循环群，$|G|=10$，其子群与 $10$ 的因子一一对应。

$10$ 的正因子为 $m=1,2,5,10$，对应子群为 $⟨m⟩$

子群	元素	阶
$⟨1⟩$	$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$	10
$⟨2⟩$	$0,2,4,6,8$	5
$⟨5⟩$	$0,5$	2
$⟨0⟩=⟨10⟩$	$0$	1

第2题

题目： 对素数 $p=11$，找出 ${\mathbb{Z}}_p^{\ast }$ 的一个生成元，并将所有元素表示为生成元的幂。 ${\mathbb{Z}}_{11}^{\ast }=\{\bar{a}\in {\mathbb{Z}}_{11}\mid \gcd (a,11)=1\}=\{\bar{1},\bar{2},\bar{3},\dots ,\overline{10}\}$ $|{\mathbb{Z}}_{11}^{\ast }|=10$，取生成元 $g=2$，逐步计算 $2^k(\mathrm{mod}11)$：

$k$	$2^k(\mathrm{mod}11)$
0	1
1	2
2	4
3	8
4	5
5	10
6	9
7	7
8	3
9	6
10	1

因此各元素表示为 $2$ 的幂也就是：

$1=2^0,2=2^1,3=2^8,4=2^2,5=2^4$

$6=2^9,7=2^7,8=2^3,9=2^6,10=2^5$

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第3题

题目： 写出商群 ${\mathbb{Z}}_{12}/⟨\bar{4}⟩$ 的各元素及加法运算表。

注意到 ${\mathbb{Z}}_{12}$ 是交换群，$⟨\bar{4}⟩$ 是正规子群

商群元素（陪集）

${\mathbb{Z}}_{12}/⟨\bar{4}⟩=\{g+⟨\bar{4}⟩\mid g\in {\mathbb{Z}}_{12}\}$ 包含 $12/3=4$ 个不同陪集：

陪集代表	陪集元素
$\bar{0}=0+⟨4⟩$	$0,4,8$
$\bar{1}=1+⟨4⟩$	$1,5,9$
$\bar{2}=2+⟨4⟩$	$2,6,10$
$\bar{3}=3+⟨4⟩$	$3,7,11$

运算规则：$\alpha ⟨\bar{4}⟩+\beta ⟨\bar{4}⟩=(\alpha +\beta )⟨\bar{4}⟩$

加法运算表

$+$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$
$\bar{0}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$
$\bar{1}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$	$\bar{0}$
$\bar{2}$	$\bar{2}$	$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$
$\bar{3}$	$\bar{3}$	$\bar{0}$	$\bar{1}$	$\bar{2}$

第4题

题目： 证明群的两个正规子群的交是正规子群。

设 $H_1⊴G$，$H_2⊴G$，令 $H=H_1\cap H_2$。

证明 $H$ 是子群：

1. 非空：$e\in H_1$，$e\in H_2$，故 $e\in H$。
2. 封闭性：若 $a,b\in H$，则 $a,b\in H_1$，故 $ab\in H_1$；同理 $ab\in H_2$，故 $ab\in H$。
3. 逆元：若 $a\in H$，则 $a\in H_1$，故 $a^{-1}\in H_1$；同理 $a^{-1}\in H_2$，故 $a^{-1}\in H$。 因此 $H\le G$

证明 $H⊴G$：

对任意 $\gamma \in G$，证明 $H\gamma =\gamma H$，即 $(H_1\cap H_2)\gamma =\gamma (H_1\cap H_2)$。

注意到对任意集合与群元素，有： $(H_1\cap H_2)\gamma =H_1\gamma \cap H_2\gamma$ （$\supseteq$：若 $x\gamma \in H_1\gamma \cap H_2\gamma$，则 $x\gamma =h_1\gamma =h_2\gamma$，由右乘 $\gamma$ 的单射性知 $h_1=h_2\in H_1\cap H_2$；$\subseteq$ 显然。）

由 ① $H_1⊴G\Rightarrow \forall \gamma \in G,H_1\gamma =\gamma H_1$

由 ② $H_2⊴G\Rightarrow \forall \gamma \in G,H_2\gamma =\gamma H_2$

故： $H\gamma =H_1\gamma \cap H_2\gamma =\gamma H_1\cap \gamma H_2=\gamma (H_1\cap H_2)=\gamma H$

因此 $H⊴G$

第5题

题目： 设 $f:{\mathbb{Z}}_{12}⟶{\mathbb{Z}}_3$ 是群同态，$f(1)=2$。 (1) 证明 $f$ 是满的；(2) 求 $\ker (f)$；(3) 列出 ${\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)$ 的所有陪集；(4) 给出由 ${\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)⟶{\mathbb{Z}}_3$ 的同构。

(1) 证明 $f$ 是满射

由于 $f$ 是群同态，$f(i+j)=f(i)+f(j)$，且 $f(n)=n\cdot f(1)(\mathrm{mod}3)$。

计算：

$f(1)=2,f(2)=2f(1)=4\equiv 1(\mathrm{mod}3),f(3)=3f(1)=6\equiv 0(\mathrm{mod}3)$

$f$ 的像包含 $\{0,1,2\}={\mathbb{Z}}_3$，故 $f$ 是满射

(2) 求 $\ker (f)$

$\ker (f)=f^{-1}(\bar{0})=\{n\in {\mathbb{Z}}_{12}\mid f(n)=0\}=\{n\mid 2n\equiv 0(\mathrm{mod}3)\}=\{0,3,6,9\}$

(3) ${\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)$ 的所有陪集

$|{\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)|=12/4=3$，共 3个 陪集：

陪集	元素
$0+\ker (f)$	$0,3,6,9$
$1+\ker (f)$	$1,4,7,10$
$2+\ker (f)$	$2,5,8,11$

(4) ${\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)⟶{\mathbb{Z}}_3$ 的同构

由第一同构定理，${\mathbb{Z}}_{12}/\ker (f)\cong \text{Im}(f)={\mathbb{Z}}_3$，同构映射 $\phi$ 定义为：

$\phi (g+\ker (f))=f(g)$

具体对应：

$\phi (0,3,6,9)=f(0)=\bar{0}$

$\phi (1,4,7,10)=f(1)=\bar{2}$

$\phi (2,5,8,11)=f(2)=\bar{1}$

验证同构性： $\phi$ 保持运算：

$\phi (\{1,4,7,10\}+\{2,5,8,11\})=\phi (\{3,6,9,0\})=\bar{0}=\bar{2}+\bar{1}=\phi (\{1,4,7,10\})+\phi (\{2,5,8,11\})$