HW12

1. $[F(\alpha ,\beta ):F]=d_{\alpha }{d}_{\beta }$

记

$$K=F(\alpha ,\beta )$$

由塔式公式

$$[K:F]=[K:F(\alpha )],[F(\alpha ):F]=[K:F(\alpha )],d_{\alpha }.$$

同理

$$[K:F]=[K:F(\beta )],d_{\beta }.$$

因 $(d_{\alpha },d_{\beta })=1$，所以 $d_{\alpha }{d}_{\beta }\mid [K:F]$。

另一方面，$\alpha$ 在 $F(\beta )$ 上的极小多项式整除 $p_{\alpha }(x)$，故

$$[K:F(\beta )]\le d_{\alpha }⟹[K:F]\le d_{\alpha }{d}_{\beta }.$$

结合整除与不等式，得到

$$[K:F]=d_{\alpha }{d}_{\beta }.$$

于是 $\alpha$ 在 $F(\beta )$ 上的极小多项式次数仍为 $d_{\alpha }$，与 $p_{\alpha }(x)$ 相同，因此不可约。

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2. $(x^2-2)(x^3-2)$ 的分裂域

$x^2-2$ 的根：$\pm \sqrt{2}$，$x^3-2$ 的根：$\sqrt[3]{2},\omega \sqrt[3]{2},{\omega }^2\sqrt[3]{2}$，其中 $\omega$ 是三次单位根，${\omega }^2+\omega +1=0$ 令 $\gamma =\sqrt[6]{2}$，则 ${\gamma }^3=\sqrt{2}$，${\gamma }^2=\sqrt[3]{2}$，所以分裂域为

$$\mathbb{Q}(\sqrt[6]{2},\omega ).$$

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3. 有限域扩张单生成

设 $K=F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 每个 ${\alpha }_i$ 在 $F$ 上代数，因此每步扩张有限，塔式公式得 $[K:F]<\infty$。由 $F$ 有限，$K$ 也是有限域。 有限域乘法群 $K^{\times }$ 是循环群，存在 $\alpha \in K^{\times }$ 使得

$$K^{\times }=⟨\alpha ⟩.$$

显然 $0\in F(\alpha )$，所以

$$K\subseteq F(\alpha ),F(\alpha )\subseteq K⟹K=F(\alpha ).$$

即

$$F({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)=F(\alpha ).$$