HW 06 第七周

第1题

题目： 在 $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 中定义加法与乘法如下： $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),(a,b)(c,d)=(ac,bd)$ 对任意的 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$。证明：$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ 是有零因子的含 1 交换环。

证明：

第一步：是环。

加法 $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ 继承 $\mathbb{Z}$ 的加法，易验证 $(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z},+)$ 是阿贝尔群：零元为 $(0,0)$，$(a,b)$ 的加法逆元为 $(-a,-b)$，交换律和结合律由 $\mathbb{Z}$ 中对应性质继承。

乘法结合律： $((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,bd)(e,f)=(ace,bdf)=(a,b)(ce,df)=(a,b)((c,d)(e,f))$

分配律： $(a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)(c+e,d+f)=(a(c+e),b(d+f))=(ac+ae,bd+bf)=(ac,bd)+(ae,bf)=(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f)$

第二步：含 1。

乘法幺元为 $(1,1)$，因为： $(a,b)(1,1)=(a\cdot 1,b\cdot 1)=(a,b),(1,1)(a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$

第三步：交换。

$(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=(c,d)(a,b)$

其中用了 $\mathbb{Z}$ 中乘法交换律。

第四步：有零因子。

$(2,0)\ne (0,0)$，$(0,2)\ne (0,0)$，但： $(2,0)(0,2)=(2\cdot 0,0\cdot 2)=(0,0)$

故 $(2,0)$ 是零因子。

---

第2题

题目： 设 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]=\{a+b\sqrt{3}\mid a,b\in \mathbb{Q}\}$。证明：$\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 关于普通实数上的加法和乘法构成一个域。

证明：

第一步：是含 1 交换环。

加法封闭： $(a+b\sqrt{3})+(c+d\sqrt{3})=(a+c)+(b+d)\sqrt{3}$ 因 $a+c,b+d\in \mathbb{Q}$，故结果仍在 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 中。

乘法封闭： $(a+b\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}$ 因 $ac+3bd,ad+bc\in \mathbb{Q}$，故结果仍在 $\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 中。

加法阿贝尔群、乘法结合律、分配律、交换律均由实数的对应性质继承。加法零元为 $0+0\cdot \sqrt{3}$，乘法幺元为 $1+0\cdot \sqrt{3}$。

第二步：每个非零元可逆。

设 $\alpha =a+b\sqrt{3}\ne 0$，则 $a,b$ 不全为零。注意到： $(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=a^2-3b^2$

若 $a^2-3b^2=0$：

• 若 $b\ne 0$，则 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=3$，即 $\frac{a}{b}=\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$，矛盾；
• 若 $b=0$，则 $a^2=0$，故 $a=0$，与 $\alpha \ne 0$ 矛盾。

故 $a^2-3b^2\ne 0$，从而可构造逆元： ${\alpha }^{-1}=\frac{a-b\sqrt{3}}{a^2-3b^2}=\frac{a}{a^2-3b^2}+\frac{-b}{a^2-3b^2}\sqrt{3}\in \mathbb{Q}[\sqrt{3}]$

（因为 $a,b\in \mathbb{Q}$，$a^2-3b^2\in {\mathbb{Q}}^{\ast }$）

故每个非零元都有乘法逆元，$\mathbb{Q}[\sqrt{3}]$ 是域。

---

第3题

题目： 设 $\phi :R⟶R^{\prime }$ 是环同态。证明：对任意 $a\in R$，$n\in \mathbb{Z}$，$\phi (na)=n\phi (a)$。

证明： 分三种情况讨论。

情况一：$n>0$。

对 $n$ 作数学归纳法。

$n=1$ 时，$\phi (1\cdot a)=\phi (a)=1\cdot \phi (a)$，成立。

设 $n=k$ 时成立，即 $\phi (ka)=k\phi (a)$，则： $\phi ((k+1)a)=\phi (ka+a)=\phi (ka)+\phi (a)=k\phi (a)+\phi (a)=(k+1)\phi (a)$

其中第二步用了 $\phi$ 是加法群同态。故对所有 $n>0$ 成立。

情况二：$n=0$。

$\phi (0\cdot a)=\phi (0)=0=0\cdot \phi (a)$

其中 $\phi (0)=0$ 由环同态的基本性质得：$\phi (0)=\phi (0+0)=\phi (0)+\phi (0)$，消去得 $\phi (0)=0$。

情况三：$n<0$。

设 $n=-m$，$m>0$，则： $\phi (na)=\phi (-ma)=\phi (-(ma))=-\phi (ma)=-m\phi (a)=n\phi (a)$

其中用了 $\phi (-x)=-\phi (x)$（由加法群同态得）以及情况一的结论。

综合三种情况，对所有 $n\in \mathbb{Z}$ 成立。$■$

---

第4题

题目： 给出 ${\mathbb{Z}}_{10}$ 的所有子环，指出它们各自的特征。

第一步：给出子环

${\mathbb{Z}}_{10}$ 的子环首先必须是 $({\mathbb{Z}}_{10},+)$ 的子群，再对乘法封闭。$({\mathbb{Z}}_{10},+)$ 的子群由 $10$ 的因子决定，共四个：

$H_1=\{0\},H_2=\{0,5\},H_5=\{0,2,4,6,8\},H_{10}={\mathbb{Z}}_{10}$

验证乘法封闭性：

• $\{0\}$：$0\cdot 0=0$，封闭。
• $\{0,5\}$：$5\cdot 5=25\equiv 5(\mathrm{mod}10)$，封闭。
• $\{0,2,4,6,8\}$：偶数之积仍为偶数，封闭。
• ${\mathbb{Z}}_{10}$：显然封闭。

故 ${\mathbb{Z}}_{10}$ 共有四个子环：$\{0\}$、$\{0,5\}$、$\{0,2,4,6,8\}$、${\mathbb{Z}}_{10}$。

第二步：各子环的特征。

• $\{0\}$：零环，$1\cdot 0=0$，$\text{char}=1$。
• $\{0,5\}$：$1\cdot 5=5\ne 0$，$2\cdot 5=10\equiv 0(\mathrm{mod}10)$，故 $\text{char}=2$。
• $\{0,2,4,6,8\}$：$1\cdot 2=2\ne 0$，$2\cdot 2=4\ne 0$，$3\cdot 2=6\ne 0$，$4\cdot 2=8\ne 0$，$5\cdot 2=10\equiv 0(\mathrm{mod}10)$，故 $\text{char}=5$。
• ${\mathbb{Z}}_{10}$：$\text{char}({\mathbb{Z}}_{10})=10$。

综上：

子环	特征
$\{0\}$	$1$
$\{0,5\}$	$2$
$\{0,2,4,6,8\}$	$5$
${\mathbb{Z}}_{10}$	$10$